圆锥曲线易错点分析-陆丰林启恩纪念中学.DOC

圆锥曲线易错点分析 (广东省陆丰市启恩中学 林敏燕 516500) 圆锥曲线是高中数学的重要内容，在每年的高考中都占有较大的比例，然而其中也有许多知识点容易搞混或用错，本文将一些常见的错误分类展示出来，希望同学们在高三复习时引起重视. 1 概念不清 在历年的高考试题中,考查圆锥曲线的概念是一个必考点.圆锥曲线的定义,圆锥曲线的焦点坐标,准线方程,离心率,焦距等等,这些是要记忆的知识点,不能混淆. 例1已知双曲线，则双曲线右支上的点到右准线的距离与点到右焦点的距离之比等于 A. B. C. 2 D. 解析：依题意可知 ，，故选C. 例1已知圆，圆都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。 错解：圆O2： 即为 所以圆O2的圆心为,半径, 而圆的圆心为,半径, 设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r 则且 所以 即 化简得 即为所求动圆圆心的轨迹方程。 点评：上述解法将=3看成,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致。 事实上，|表示动点M到定点及的距离差为一常数3。 且,点M的轨迹为双曲线右支，方程为 例2、已知双曲线的一条准线方程为x=2,其相应的焦点为(8,0)，离心率为，求双曲线的方程。 错解：由,于是可求得双曲线的方程为 。 点评：看起来问题已经解决，然而离心率这个条件似乎多余，而根据求得的方程又得不到离心率为。错误是显然的，那么问题在哪里呢？其实问题就在于此方程并不是标准方程，而我们把它当作了标准方程。正确的做法是利用双曲线的第二定义来求出方程（下略）。由此看来，判断准方程的类型是个关键。 2 忽略范围 例3、已知曲线C：与直线L：仅有一个公共点，求m的范围。 错解：曲线C：可化为（1），联立得： ，由Δ＝0,得。 分析：方程（1）与原方程并不等价，应加上。 故原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分。（如图），结合图形易求得m的范围为。 点评：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错。数形结合是解题的关键. 例4、双曲线上有一点P到左准线的距离为,则P到右焦点的距离为 。 错解：设F1、F2分别为由双曲线的左、右焦点，则由双曲线的方程为，易求得a=3,c=5,从而离心率e＝,再由第二定义，易求|PF1|=ed1＝，于是又由第一定义，得|PF2|=。 点评：以上出现两解的原因是考虑到P可能在不同的两支上。 而事实上P若在右支上，则其到F1的最短距离应为右顶点A2到F1的距离| A2 F1|＝a+c＝8，而，故点P只能在左支，于是|PF2|=。 小结：一般地，若|PF1| ≥ a+c,则P可能在两支上，若|PF1| a+c,则P只能在一支上。 3 考虑不周 例5、过点(0,1)作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有 A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条 错解：设直线的方程为，联立，得， 即：，再由Δ＝0,得k=1,得答案A. 点评：本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条。 例6、设双曲线的渐近线为：，求其离心率。 错解：由双曲线的渐近线为：，可得：，从而 点评：由双曲线的渐近线为是不能确定焦点的位置在x轴上的，当焦点的位置在y轴上时，，故本题应有两解，即： 或。 4 忽略隐藏条件 例7、已知双曲线，过P(1,1)能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且P为AB中点。 错解：（1）过点P且与x轴垂直的直线显然不符合要求。 （2）设过P的直线方程为，代入并整理得： ∴，又∵ ∴ 解之得：k=2，故直线方程为：y=2x-1,即直线是存在的。 点评：本题的问题在于没有考虑隐含条件“Δ0”，当k=2时代入方程可知Δ0，故这样的直线不存在。使用一元二次方程的根与系数的关系必需要注意检验根的判别式是否成立。 y x 例7、直线L：与圆O：相交于A、B两点，当k变动时，弦AB的中点M的轨迹方程。 错解：易知直线恒过定点P（5,0），再由，得： ∴，整理得： 点评：求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性。本题中注意到点M应在圆内，故易求得轨迹为圆内的部分，此时。 例8、设点P(x,y)在椭圆上，求的最大、最小值。 错解：因 ∴，得：，同理得：，故 ∴最大、最小值分别为3,-3. 点评：本题中x、y除了分别满足以上条件外，还受制约条件的约束。当x=1时,y此时取不到最大值2,故