定积分在几何和物理中的应用∑∫∫.PDF

第6 章 定积分在几何和物理中的应用 从上一章我们已经知道， 曲边梯形的面积和物体在变力作用下所做的功都能用定积分 来表达. 这些量具有以下特征： (1) 所求量U 与函数f (x ) 及x 的变化区间[a ，b] 有关； (2) 所求量U 具有对区间的可加性区间上的整体量U = 各子区间上的部分量 ΔUi n 之和，即U ∑=ΔUi ； i 1 (3) 各部分量可作近似计算：ΔU ≈ f (ξ )Δx ． i i i 凡具备这些特征的量都能用定积分来描述,事实上，工程实际应用中，有许多的量都具 备这些特征，从而可用定积分表示. 若所求量U 属于定积分问题，并且U 是由连续函数f (x ) 所确定的在区间 [a ，b] 上非 均匀分布的量．下面考虑如何简便地建立它的定积分表达式．为简单起见，我们省略所有下 标 i ．具体可归纳为两步： (1) 在[a,b] 内任取小区间[x ，x +Δx ] ，写出[x ，x +Δx ] 上部分量的近似表达式 ΔU ≈ f ( x)Δx dU ，称为计算量U 的元素； b b (2) 整体量 U dU f ( x) dx ． ∫ ∫ a a 步骤(1)相当于“分割和近似”， 步骤(2)相当于“求和和取极限”. 这种建立积分表达式的方法称为元素法，也称为微元法． 本章主要运用元素法来分析和解决一些几何、物理中的问题． 6．1 平面图形的面积 立体的体积 6．1．1 平面图形的面积 1 直角坐标系情况 （1） X 型区域的面积 a ≤x ≤b， ⎧ X 型区域（如图 6．1）可表示为D : ⎨ y 下(x ) ≤y ≤y 上 (x )， ⎩ 其中y y 下 (x )，y y 上 (x ) 在区间[a ，b]上连续． 取x 作为积分变量，其变化区间x ∈[a ，b] ． 任取小区 间[x ，x +Δx ]⊂[a ，b ] ， 面积元素 - 175 - dA [y上 (x ) =−y下 (x )]dx ， 图 6．1 面积 b b A dA [y上 (x ) −y下 (x )]dx ． （1） ∫ ∫ a a （2） Y 型区域的面积 ≤ ≤ ， c y d ⎧ Y 型区域（如图6．2）可表示为D :⎨ x左 (y ) ≤x ≤x右 (y )，