微分方程建模II.PPT

6.5 种群的弱肉强食(食饵-捕食者模型) 种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。 模型的历史背景——一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？ 食饵（甲）数量 x(t), 捕食者（乙）数量 y(t) 甲独立生存的增长率 r 乙使甲的增长率减小，减小量与 y成正比 乙独立生存的死亡率 d 甲使乙的死亡率减小，减小量与 x成正比 方程(1),(2) 无解析解 食饵-捕食者模型(Volterra) a ~捕食者掠取食饵能力 b ~食饵供养捕食者能力 第六章 微分方程建模II 6.1 捕鱼业的持续收获 6.2 军备竞赛 6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的相互依存 6.5 种群的弱肉强食 稳定性模型 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状态是否稳定。 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。 6.1 捕鱼业的持续收获 再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等） 再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。 问题及 分析 在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。 如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。 背景 产量模型 假设 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 建模 捕捞情况下渔场鱼量满足 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件 r~固有增长率, N~最大鱼量 h(x)=Ex, E~捕捞强度 x(t) ~ 渔场鱼量 一阶微分方程的平衡点及其稳定性 一阶非线性（自治）方程 F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点 设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，都有 称x0是方程(1)的稳定平衡点 不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 (1)的近似线性方程 产量模型 平衡点 稳定性判断 x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯 E~捕捞强度 r~固有增长率 产量模型 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大 图解法 P的横坐标 x0~平衡点 y=rx h P x0 y 0 y=h(x)=Ex x N y=f(x) P的纵坐标 h~产量 产量最大 f 与h交点P hm x0*=N/2 P* y=E*x 控制渔场鱼量为最大鱼量的一半 效益模型 假设 鱼销售价格p 单位捕捞强度费用c 单位时间利润 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大. 稳定平衡点 求E使R(E)最大 渔场鱼量 收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE Es S(E) T(E) 0 r E 捕捞过度 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 开放式捕捞只求利润R(E) 0 R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER 临界强度下的渔场鱼量 捕捞过度 ER E* 令=0 6.2 军备竞赛 描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程 解释(预测)双方军备竞赛的结局 假设 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快； 2）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大； 3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力。 进一步假设 1）2）的作用为线性；3）的作用为常数 目的 建模 军备竞赛的结局 微分方程的平衡点及其稳定性 x(t)~甲方军备数量， y(t)~乙方军备数量 ?, ? ~ 本方经济实力的制约； k, l ~ 对方军备数量的刺激； g, h ~ 本方军备竞赛的潜力。 t ? ?时的x(t)，y(t) 线性常系数微分方程组 的平衡点及其稳定性 平衡点P0(x0,y0)=(0,0) ~代数方程 的根 若从P0某邻域的任一初值出发，都有 称P0是微分方程的稳定平衡点 记系数矩阵 特征方程 特征根 线性常系数微分方程组 的平衡点及其稳定性 特征根 平衡点 P0(0,0) 微分方程一般解形式 平衡点 P0(0,0)稳定 平衡点 P0(0,0)不稳定 ?1,2为负数或有负实部 p 0 且 q 0 p 0 或 q 0 平衡点 稳定性判断 系数矩阵 平衡点(x0, y0)稳定的条件 模型 军备竞赛 模型的定性解释 双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值)的条件 双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛 才会稳定，否则军备将无限扩张。 平衡点 2) 若g=h=0, 则 x0=y0=0, 在 ?? kl 下 x(t), y(t)?0, 即友好邻国通过裁军可达到永久和平。 模型 ?, ? ~ 本方经济实力的制约； k, l ~