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数与矩阵相乘2
一、矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 四、矩阵的其它运算 五、小结 思考题 思考题解答 §2.2 矩阵的运算 1、定义 设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ,规定为 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进 行加法运算. 例如 2、 矩阵加法的运算规律 记-A=(-aij),成为矩阵A的负矩阵 1、定义 2、数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算. (设 为 矩阵, 为数) 1、引例 产品 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 一厂 二厂 三、矩阵与矩阵相乘 ⅠⅡⅢ 单位 单位 价格 利润 总收入 总利润 一厂 二厂 可见 c11=a11b11+a12b21+a13b31 cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j 2、定义 并把此乘积记作C=AB 设 是一个 矩阵, 是一个 矩阵,那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ,其中 例1 设 例2 故 解 注意1 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘. 例如 不存在. 注意2:AB的行数=A的行数;AB的列数=B的列数 练习: 1、 2、 3、 =( ) 4、线性方程组 记 则有AX=b 注意3 矩阵不满足交换律, 例3 设 则 如前练习题1、2 即一般地AB≠BA 但也有例外,比如设 则有 此时称矩阵A、B可交换。 注意4 矩阵不满足消去律,即: (1)若AB=AC,A≠0不能推出B=C (2)若AB=0不能推出A=0或B=0 例4 设 2、矩阵乘法的运算规律 (其中 为数); 若A是 阶矩阵,则 为A的 次幂,即 并且 注意:一般地 (AB)k≠AkBk 定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵,叫做 的转置矩阵,记作 . 例 1、转置矩阵 转置矩阵的运算性质 证(4):首先据矩阵乘法定义可见左右两边是同型阵; 其次证明两边矩阵的对应元素相等。 因为(AB)T位于第i行第j列的元素 =AB位于第j行第 i列的元素 =A位于第j 行的元素与B位于第i列对应元素的乘积之和 = BT位于第i行的元素与AT位于第j列对应元素的乘积之和 =BTAT位于第i行第j列的元素 例5 已知 解法1 解法2 2、方阵的行列式 定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式, 叫做方阵 的行列式,记作 或 运算性质 记C=AB,构造一个 2n阶行列式 =(-1)n|C|(-1)n=|AB| 3、对称阵与伴随矩阵 定义 设 为 阶方阵,如果满足 ,即 那末 称为对称阵. 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等. 说明 例6 设列矩阵 满足 证明 例7 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵 与反对称阵之和. 证明 所以C为对称矩阵. 所以B为反对称矩阵. 命题得证. 定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 性质 称为矩阵 的伴随矩阵. 证明 故 同理可得
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