数值积分-任晓丹.PDF

有限单元法研究生核心课程 第六讲 数值积分 任晓丹 rxdtj@ 同济大学土木工程学院 单元积分 e T K e B DB | J | d 一般情况下，对于稍微复杂的单元和等参变换， 上述积分的理论解即变得十分复杂，所以有限元应 用过程中上述积分一般基于数值积分求得。数值积 分又称为quadrature 。 数值积分应用一例 H 通用体积计算公式： V S底 4 S中 S顶 6 对于几乎所有的常见的能够划分出底、中、顶三个平行 截面的几何体均成立！ 其本质是辛普生数值积分公式，该公式具有三阶 （超）代数精度，即对于三次及三次以下代数多项式的 积分结果是精确的。而沿着轴线方向截面积的三次多项 式变化可以包含常见的大部分几何体。此例充分说明了 对于多项式及相关函数的积分，较之解析积分方法，数 值积分很多时候更能够同时满足准确性和简便性两方面 的要求。 一维积分 一维数值积分一般表示为： n b q f ()d H f ( ) a i i i 1 固定积分点位置（一般为等距分布），以积分点处函数值作为自 由度来逼近给定函数，可得Newton-Cotes积分： n q f (x ) (x ) ln1()f ( ) H b l n1()d i i i a i i 1 b b nq b (b a)Cin1 f ()d  ()d  ln1()d f ( ) a a i 1 a i  i 一维积分 除了积分点处函数值，积分点位置也可以当做自由度来逼近给定 函数，基于此概念可建立Gauss积分。 n q f (x ) (x ) l n1()f ( ) w()P () i i i 1 不论积分点