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数值积分-任晓丹
有限单元法研究生核心课程
第六讲 数值积分
任晓丹
rxdtj@
同济大学土木工程学院
单元积分
e T
K e B DB | J | d
一般情况下，对于稍微复杂的单元和等参变换，
上述积分的理论解即变得十分复杂，所以有限元应
用过程中上述积分一般基于数值积分求得。数值积
分又称为quadrature 。
数值积分应用一例
H
通用体积计算公式： V S底 4 S中 S顶
6
对于几乎所有的常见的能够划分出底、中、顶三个平行
截面的几何体均成立！
其本质是辛普生数值积分公式，该公式具有三阶
（超）代数精度，即对于三次及三次以下代数多项式的
积分结果是精确的。而沿着轴线方向截面积的三次多项
式变化可以包含常见的大部分几何体。此例充分说明了
对于多项式及相关函数的积分，较之解析积分方法，数
值积分很多时候更能够同时满足准确性和简便性两方面
的要求。
一维积分
一维数值积分一般表示为：
n
b q
f ()d H f ( )
a i i
i 1
固定积分点位置（一般为等距分布），以积分点处函数值作为自
由度来逼近给定函数，可得Newton-Cotes积分：
n
q
f (x ) (x ) ln1()f ( ) H b l n1()d
i i i a i
i 1
b b nq b (b a)Cin1
f ()d ()d ln1()d f ( )
a a i 1 a i i
一维积分
除了积分点处函数值，积分点位置也可以当做自由度来逼近给定
函数，基于此概念可建立Gauss积分。
n
q
f (x ) (x ) l n1()f ( ) w()P ()
i i
i 1
不论积分点
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