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定期考優良試題推介 ─ 99學年度高一下第二次定期考 教育部高中數學學科中心試題研發小組 報告撰寫：國立竹南高中李政豐老師 指導教授：國立臺灣師範大學數學系陳昭地教授、洪有情教授、張幼賢教授、朱亮儒教授 小組成員：臺北市立建國高中曾政清老師、國立基隆女中沈燈賢老師、臺北市立北一女中蘇麗敏老師、國立武陵高中謝文斌老師、國立新竹高中褚雨蓓老師、國立新竹女中張寶文老師、國立竹南高中李政豐老師、國立臺中一中李吉彬老師、國立員林高中黃駿耀老師、國立北港高中蕭民能老師、國立新豐高中王人傑老師、國立臺南一中蕭健忠老師、國立高師大附中歐志昌老師 前言 99課綱實施之後，原本在高二下的排列組合課程，提前在高一下實施教學，在這個重大的變動之下，課綱委員與高中數學教師的看法，有一點落差，因而在教學與評量中，衍生一些需要時間來適應的問題。本校學生基測PR值約為61，我以任教於中等程度學校教師的觀點，列舉一般性問題如下，謹提供大家參考： 1、排列組合的學習著重在分析理解能力的訓練，高一學生的智慧年齡與數學能力的背景，比起高二學生是有些不足。 2、99課綱明顯的希望降低排列組合的難度，但是老師們對舊課綱的命題內容還是很多，短時間內還無法融入新課綱的精神。 3、部分學校的試題，解題的技巧性很高，需要思考得很週延，相對的解題時間變得很匆忙，學生的挫折感必定很大。 4、部分試題思考的細膩度廣，計算量大，要在(60~70)分鐘內解完試題，實不容易。 5、需要逐一檢查解題方式的題目稍微偏多，學生不易在短短的考試時間內掌握它的演算法。 6、在教學時，要讓學生有自由解題的空間，走他自己的路，尤其要讓學生體會『我這樣的作法，到底錯在哪裡？』。能夠讓學生了解自己的路哪裡出錯，他才會接受老師所敎的解題方法。因此診斷學習是很必要的，只教學生如十八般武藝的解題技巧，在我們中等程度學校是有學習困難的。 在教學與評量當中，我們感覺需要加強的內容也將它列舉如下： 1、相同物分堆的定義不夠清楚，能舉出來的生活中的實例太少。 例如：曾小姐擁有一副好歌喉，在同學的鼓勵之下參加了「歌唱大賽」，現場有5名專業的評審，依照表演者的表現給出1、2、3、4、5、6的分數。今曾小姐在唱完後共得到26分的高分， (1)如果只考慮所評出來的分數，不需辨識評審的身分，則共有多少種可能的給分方式。 這是相同物分堆的題目； 26=6+6+6+6+2，26=6+6+6+5+3，26=6+6+6+4+4，26=6+6+5+5+4， 26=6+5+5+5+5，共五種。 (2)如果要考慮每位評審各給幾分，則共有多少種可能的給分方式。這是重複組合的情境：要先作相同物分堆，再作不盡相異物排列。 26=6+6+6+6+2有種，26=6+6+6+5+3有種 26=6+6+6+4+4有種，26=6+6+5+5+4有種 26=6+5+5+5+5有種，總共有70種 於是，我們可以對相同物分堆下定義：「任兩堆之間沒有順序，如果相同物品數量有n個，將n分成由大到小的非負整數和，即為一種相同物分堆的方法」。 2、不同物分堆的定義也不夠清楚，能舉出的生活中實例也不多。 以賽程的安排做為不同物分堆的例子是比較適當的。 所謂兩隊比賽的賽程安排：是指兩隊的成員，與比賽的對象。當隊內組成的成員有變化，或比賽的對象有變化，就視為不同的賽程。 例如：有9位學生要分兩組作籃球的鬥牛賽，一組5人，另一組4人，有多少種賽程的安排。 因為人數不同，有大小組的區分，故有種 例如：有8位學生要分兩組作籃球的鬥牛賽，每一組4人，有多少種賽程的 安排。 因人數相同,沒有組別區分,兩組人馬對調,比賽對象沒變,故有種。由此，我們可加入不同物分堆的定義：　把n個不同物分k堆　a. 若兩堆數目不同，有大小堆的差異，則兩堆之間要考慮順序，視同排列， 　 堆內物品不考慮順序視同組合。　b. 若兩堆數目相同，則兩堆之間不考慮順序，只有各堆內成員有變化時才　 算是不同的分堆方法。 3、課本只列舉重複排列的正向算法(用乘法原理)，缺乏重複排列的逆向算法。 例如：有3條渡船，有6名旅客，規定每條渡船的安全載客量為4人，若旅客在不知道安全載客量規定的情況下，每位旅客都可隨機選擇上哪一條船，則安全過渡的情形有幾種。 這是重複排列的情境，所有上船的情形(含安全或不安全)有種。 設三條渡船是B1、B2、B3，會有危險的載客量是： 重複排列的逆向算法是要考慮每條船載了多少人，而且載了哪些人。 當三條渡船載客量是6,0,0之排列情形有種。 當三條渡船載客量是5,1,0之排列情形有種。 故危險過渡共有39種。而安全過渡有729－39=690種。 的算法，我們暫且稱為『外排內組』，任兩船之間所載的客人是有順序的，視同排列。同一條船內所載的客人是不分順序的，視同組合