旋转体的体积学习目标.PPT

歐亞書局 歐亞書局 歐亞書局 歐亞書局 歐亞書局 微積分精華版[第九版] 旋轉體的體積 6.7 6.7 旋轉體的體積 學習目標 利用圓碟法求旋轉體體積。 利用墊圈法求中空旋轉體的體積。 利用旋轉體求解實際生活的問題。 P.6-51 第六章　積分與其應用 圓碟法 定積分的另一個重要應用就是計算立體物體的體積，本節將研究橫切面都類似的特殊立體物體，我們首先介紹旋轉體，諸如工程與製造業常見的輪軸、漏斗、彈丸、瓶子與活塞。 P.6-51 第六章　積分與其應用 圓碟法 如圖 6.26 所示，旋轉體 (solid of revolution) 是由平面的區域對一直線旋轉所形成，而該直線則稱為旋轉軸 (axis of revolution)。 P.6-51 圖6.26 第六章　積分與其應用 圓碟法 若要計算旋轉體的體積，我們考慮在區間 [a, b] 為非負且連續的函數 f，假設上述區域的面積大致為 n 個矩形面積的和，每個矩形的寬皆為 Δx，如圖 6.27 所示。對 x 軸旋轉則可得 n 個體積為?[f(xi)]2Δx 的圓碟，故平面區域對 x 軸旋轉所形成的體積大致為此 n 個圓碟的體積和，當 n 趨近於無窮大時，此定積分即為旋轉體的實際體積，這樣的方法稱為圓碟法 (Disk Method)。 P.6-51 第六章　積分與其應用 圓碟法 P.6-51 第六章　積分與其應用 圓碟法 P.6-51 圖6.27 第六章　積分與其應用 範例 1　求旋轉體體積 求函數 f(x) ＝ －x2 ＋ x 與 x 軸所圍成區域對 x 軸旋轉的立體體積。 P.6-52 第六章　積分與其應用 範例 1　求旋轉體體積 （解） 首先簡單畫出函數 f 與 x 軸所圍成之區域，如圖 6.27(a) 所示，畫出具代表性的矩形，其高度為 f(x) 且寬度為 Δx，此矩形對 x 軸旋轉所得立體之半徑為 f(x) =－x2 + x，以圓碟法可求得旋轉體的體積為 P.6-52 第六章　積分與其應用 所以，此旋轉體的體積約為 0.105 立方單位。 範例 1　求旋轉體體積 （解） P.6-52 第六章　積分與其應用 範例 1　求旋轉體體積 （解） P.6-52 圖6.28 第六章　積分與其應用 檢查站 1 求函數f(x) =－x2 + 4與 x 軸所圍成區域對 x 軸旋轉的立體體積。 P.6-52 第六章　積分與其應用 學習提示 範例 1 的解題並未用到如圖 6.28(b) 所示的立體繪圖。一般而言，平面區域的簡圖比立體的簡圖更容易計算旋轉體體積的積分，因為圓碟的半徑在平面圖較容易看出。 P.6-52 第六章　積分與其應用 墊圈法 圓碟法也可推廣用於求中空的旋轉體的體積。考慮由 f 和 g 圖形所圍成的區域，如圖 6.29(a) 所示，應用圓碟法對 x 軸旋轉所得中空立體的體積為 將此式表示成單一積分，即為墊圈法 (Washer Method)。 P.6-52 第六章　積分與其應用 墊圈法 P.6-52 圖6.29 第六章　積分與其應用 墊圈法 請注意，在圖 6.29(b) 中的旋轉體的內部是中空的，而且中空部分的半徑是內環半徑 g(x)。 P.6-52~6-53 第六章　積分與其應用 範例 2　墊圈法 求由圖形 和 g(x) ＝ 3 所圍成區域繞 x 軸旋轉所得之旋轉體的體積 (參見圖6.30)。 P.6-53 第六章　積分與其應用 範例 2　墊圈法 （續） P.6-53 圖6.30 第六章　積分與其應用 範例 2　墊圈法 （解） 首先令 f(x) 等於 g(x)，再解出 x，即可求得 f 和 g 的交點。 P.6-53 第六章　積分與其應用 範例 2　墊圈法 （解） 再令 f(x) 為外環半徑且 g(x) 為內環半徑，即可求得旋轉體體積，如下所示： 　所以，此旋轉體的體積約為 268.08 立方吋。 P.6-53 第六章　積分與其應用 檢查站 2 求由圖形 f(x) ＝ 5 － x2 和g(x) ＝ 1 所圍成區域繞 x 軸旋轉所得之旋轉體的體積。 P.6-53 第六章　積分與其應用 應用　範例 3　求美式足球的體積 正規美式足球的尺寸可表示為圖形 f (x) = －0.0944x2 + 3.4，－5.5 ≤ x ≤ 5.5 繞 x 軸旋轉所形成的旋轉體，如圖 6.31 所示，試以此模型來計算美式足球的體積 (x 和 y 是以吋計)。 P.6-54 第六章　積分與其應用 範例 3　求美式足球的體積 （解） 以圓碟法來計算此旋轉體體積 　所以，此美式足球的體積約為 232 立方吋。 P.6-54 第六章　積分與其應用 範例 3　求美式