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数列综合题（2006年） 1、（全国1理）设数列的前n项的和。 （1）求首项与通项； （2）设，证明：。 2、（北京理）在数列中，若是正整数，且，n = 3，4，5，…，则称为“绝对差数列”。 （1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）； （2）若“绝对差数列” 中，，数列满足， n = 1，2，3，…，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值； （3）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项。 3、（上海理）已知有穷数列共有项（整数），首项，设该数列的前n项和为，且，其中常数a 1。 （1）求证：数列是等比数列； （2）若，数列满足，求数列的通项公式； （3）若（2）中的数列满足不等式+++ 4，求k的值。 4、（广东）已知公比为q（0 q 1）的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为。 （1）求数列的首项和公比q； （2）对给定的k（k = 1，2，… ，n），设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前10项之和。 （3）设为数列的第i项，，求，并求正整数m（m 1），使得存在且不等于零。 （注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷等比数列前n项和的极限） 5、（山东文）已知数列中， ，点在直线上，其中n = 1，2，3，…。 （1）令，求证数列是等比数列； （2）求数列的通项； （3）记、分别为数列、的前n项和，是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，试求出λ；若不存在，则说明理由。 6、（山东理）已知，点在函数的图象上，其中n = 1，2，3，…。 （1）证明数列是等比数列； （2）设，求及数列的通项； （3）记，求数列的前n项和，并证明。 7、（江苏）设数列、、满足：，，（n = 1，2，3，…），证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n = 1，2，3，…）。 8、（浙江理）已知函数，数列的第一项，以后各项按如下方式取定：曲线在处的切线与经过（0，0）和两点的直线平行（如图），求证：当时， （1）； （2）。 9、（四川理）已知数列，其中，记数列的前n项和为，数列的前n项和为。 （1）求； （2）设，（其中为的导函数），计算。 10、（天津文）已知数列{x n}满足，并且（λ为非零参数，n = 2，3，4，…） （1）若、、成等比数列，求参数λ的值； （2）设0 λ 1，常数且，证明 。 11、（天津理）已知数列、满足，并且 （λ为非零参数，n = 2，3，4，…） （1）若、、成等比数列，求参数λ的值； （2）当λ 0时，证明； （3）当λ 1时，证明。 12、（福建文）已知数列满足。 （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （2）若数列满足，证明：是等差数列。 13、（福建理）已知数列满足。 （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，证明：是等差数列； （3）证明：。 14、（重庆文）如图，对每个正整数n，是抛物线上的点，过焦点F的直线交抛物线于另一点。 （1）试证：； （2）取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点，试证： 。 15、（重庆理）已知一列椭圆，若椭圆上有一点，使到右准线的距离是与的等差中项，其中、分别是的左、右焦点。 （1）试证：； （2）取，并用表示的面积，试证：且。 16、（辽宁理）已知，其中，设 。 （1）写出； （2）证明：对任意的，恒有。 17、（江西文）已知各项均为正数的数列满足：，且，。 （1）求数列的通项公式； （2）设，求并确定最小正整数n，使为整数。 18、（江西理）已知数列满足：，且。 （1）求数列的通项公式； （2）证明：对一切正整数n，不等式恒成立。 18