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* * 第一节 反常积分的概念第二节 无穷积分的性质与收敛判别第三节 瑕积分的性质与收敛判别 第十一章 反常积分 第一节 反常积分的概念 一、问题提出 例1 （第二宇宙速度） 在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要多大？ 例2 圆柱形桶的内壁高为h，内半径为R，桶底有一半径为r的小孔，试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？ 二、两类反常积分的定义 例1 计算广义积分 解 例2 计算广义积分 解 证 定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分. 例４ 计算广义积分 解 证 例 ５ 证明广义积分 ò 1 0 1 dx x q 当 1 q 时收敛，当 1 3 q 时发散 . 例６ 计算广义积分 解 故原广义积分发散. 例７ 计算广义积分 解 瑕点 无界函数的广义积分（瑕积分） 无穷限的广义积分 （注意：不能忽略内部的瑕点） 三、小结 第二节　无穷积分的性质与收敛判别 一、无穷积分的性质 定理11.1 （柯西准则）无穷积分 收敛的充要条件是：任给 只要 便有 性质1 若 与 都收敛， 为任意常数，则 也收敛，且 性质2 若 在任何有限区间 上可积， 则 与 同敛态，且有 性质3 若 在任何有限区间 上可积， 且有 收敛，则 亦收敛，并有 定义：当 收敛时，称 为绝 对收敛，称收敛而不绝对收敛为条件收敛。 注：绝对收敛的无穷积分，它本身也一定收敛。 但逆命题一般不成立。 二、比较判别法 不通过被积函数的原函数判定广义积分收敛性的判定方法. 　　由定理，对于非负函数的无穷限的广义积分有以下比较收敛原理． 收敛． 上有界，则广义积分 在 ．若函数 且 上连续， 在区间 定理　 设函数 ò ò ￥ + +￥ = 3 +￥ a x a dx x f a dt t f x F x f a x f ) ( ) , [ ) ( ) ( 0 ) ( ) , [ ) ( 证 也发散． 发散，则 且 并 也收敛；如果 收敛，则 并且 上连续，如果 区间 在 、 设函数 (比较法则) 　 定理 ò ò ò ò ￥ + ￥ + ￥ + ￥ + +￥ ￡ ￡ ￡ +￥ ￡ ￡ ￡ +￥ a a a a dx x f dx x g x a x f x g dx x f dx x g x a x g x f a x g x f ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( 0 ) , [ ) ( ) ( 11.2 由定理知 例如， 例１ 解 根据比较审敛法１， 推论1 若 与 都在任何 上可积， 且 则有： （1）当 时， 与 同敛态； （2）当 时，由 收敛可推知 也收敛； （3）当 时，由 发散可推知 也发散。 推论2 设 定义于 且在任何有限区间 上可积，则有： （1）当 且 时 收敛； （2）当 且 时 发散。 推论3 设 定义于 且在任何有限区间 上可积，且 则有： （1）当 时， 收敛； （2）当 时， 发散。 例２ 解 所给广义积分收敛． 例３ 解 故所给广义积分发散． 例４ 解 故所给广义积分发散． 三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 定理11.3 （狄利克雷判别法）若 在 上有界， 在 上当 时 单调趋于0，则 收敛。 定理11.4（阿贝尔判别法）若 收敛， 在 上单调有界，则 收敛。 例5 讨论 的收敛性。 解：（1）当 时 绝对收敛。这是因为： 而 当 时收敛，故有比较法则推知 收敛。 （2）当 时 条件收敛。