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正弦定理 * * 正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等. 即 利用三角形面积来证有： 剖析定理、加深理解 正弦定理可以解决三角形中哪类问题： ① 已知两角和一边，求其他角和边. ② 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角. 定理的应用 例 1 在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 a , b (精确到0.01）. 解： 且 ∵ ∴ b = 19.32 = 已知两角和任意边， 求其他两边和一角 ∵ ∴ a = 14.14 = B A C b c a ＝ ＝ （2R为△ABC外接圆直径） ＝ 2R 思考 求证: 证明： O C/ c b a C B A 作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/, A c b C B D a 向量法 证法2: 利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明. 例 2 已知a=16， b= ， A=30° . 求角B，C和边c 已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角 解：由正弦定理 得 所以 Ｂ＝60°, 或Ｂ＝120° 当 时 Ｂ＝60° C=90° C=30° 当Ｂ＝120°时 B 16 300 A B C 16 3 16 变式: a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c 300 A B C 26 30 解：由正弦定理 得 所以 Ｂ＝25.70, 或Ｂ＝1800－25.70=154.30 由于154.30 +3001800 故B只有一解　（如图） C=124.30, 变式: a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c 300 A B C 26 30 解：由正弦定理 得 所以 Ｂ＝25.70, C=124.30, ∵a b 　∴ A B , 三角形中大边对大角 已知两边和其中一边的对角,求其他边和角 1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30°. [B=90°，C=60°，c= ] (2) b=40，c=20，C=45°. 练习 注：三角形中角的正弦值小于１时，角可能有两解 无解 课堂小结 （1）三角形常用公式： （2）正弦定理应用范围： ① 已知两角和任意边，求其他两边和一角 ② 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况) 正弦定理： ＝ 2R 已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解? 课后思考 A C a b absinA 无解 A C a b a=bsinA 一解 A C a b bsinA a b 两解 B B1 B2 B A C b a 一解 a A B a b C A B a b C A B a b C ab 无解 a=b 无解 ab 一解 A B C D E A B C D E 实际问题 分析：要求ＢＣ，只要求ＡＢ，为此考虑解 △ＡＢＤ A B C D E 解：过点Ｄ作ＤＥ//ＡＣ交ＢＣ于Ｅ，因为 ∠ＤＡＣ＝20°,所以∠ＡＤＥ＝160°,于是 ∠ＡＤＢ＝360°－160°－65°＝135° 又∠ＢＡＤ＝35 ° －20 ° ＝15，所以 ∠ＡＢＤ＝30 ° 在△ＡＢＤ中，由正弦定理，得 在Rt△ABC中， BC=ABsin35°= 答：山的高度为811m. 例４、在三角形ABC中，已知　　　　　　　， 试判断三角形ABC的形状． 解：令　　　　，由正弦定理，得 a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC. 代入已知条件，得 即tanA=tanB=tanC 又Ａ，Ｂ，Ｃ∈(０，π)，所以Ａ＝Ｂ＝Ｃ， 从而三角形ＡＢＣ为正三角形． 练习1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底 部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是 　　　　　　　　　，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。 图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？ 想一想 实例讲解 实例讲解 A A1 B C D C1 D1 分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又 已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。 解： 答：烟囱的高为 29.9m. A C B D 正弦定理的综合应用