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第11章 一元线性回归 11.1 变量间关系的度量 11.2 一元线性回归 11.3 利用回归方程进行预测 函数关系 1、是一一对应的确定关系。 2、设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量。 3、函数关系举例（线性的、非线性的） 相关关系 1、变量间存在的不确定的数量关系 2、一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定 3、当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个 4、相关关系举例（线性的、非线性的）。 相关分析就是对两个变量之间线性关系的描述与度量。 在进行相关分析时，通常首先绘制散点图来判断变量之间的关系形态。 如果是线性关系，则可以利用相关系数来测度两个变量之间的关系强度。 为检验样本所反映的关系能否代表两个变量总体上的关系，还要对相关系数进行显著性检验。 1、散点图 2、相关系数 相关系数是度量两个变量之间线性相关程度的统计量。 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为? 若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为 r 相关系数的性质 （1）r 的取值范围是 [-1,1]。 |r|=1，表明两变量之间为函数关系 r =1，表明两变量存在完全正线性相关关系 r =-1，表明两变量存在完全负线性相关关系 r = 0，表明两变量不存在线性相关关系 -1?r0，表明两变量存在负线性相关关系 0r?1，表明两变量存在正线性相关关系 相关系数的性质 （2）r 具有对称性。 （3）r数值大小与x和 y的原点及尺度无关。 （4）r 仅仅是变量间线性关系的度量，不能用于描述非线性关系。 （5）r 虽然是两变量之间线性关系的度量，却并不意味着一定存在因果关系。 描述因变量y如何依赖于自变量x和随机误差项ε的方程称为回归模型。 （3）误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且独立。上述假定可以表述为： ε ? N (0, ? ? )。 可得： yi ? N (β0+β1xi, ? ? ) 最小二乘法的图示 11.2.3 回归直线的拟合优度 拟合优度(goodness of fit)是指回归直线与各观测点的接近程度。 度量拟合优度的指标是判定系数（或可决系数）R2 。 基本思路：因变量Y的变异，能够被X的变异解释的比例越大，则OLS回归线对总体的解释程度就越好。 高斯- 马尔柯夫定理： 在前述假定下，在所有线性无偏估计量中，OLS估计量有最小方差，即OLS是BLUE（Best Linear Unbiased Estimator）。 （1）线性 f 密度 d - b ? 1 d + b ? 1 b 1 b ? 2 true （2）无偏性 （3）有效性 案例：家庭消费支出与收入水平的一元线性回归模型。 在一个假想的经济社会中，构成总体的60个家庭及其周收入和周消费支出的数据如下表所示（单位：美元）。 7 6 7 5 6 6 7 5 6 5 户数 1211 966 1043 685 750 678 707 445 462 325 总支出 173 161 149 137 125 113 101 89 77 65 Y的条件均值 191 － 162 － － － 115 － － － 185 189 160 － 140 125 113 － 88 － 180 175 157 145 135 118 108 98 85 75 178 165 152 144 130 116 103 94 80 70 175 155 140 140 120 110 95 90 74 65 152 145 137 136 115 107 93 84 70 60 150 137 135 120 110 102 80 79 65 55 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 X Y 总体回归直线(PRF)描述了解释变量取给定值时因变量的条件均值或期望值的轨迹。在本例中： 不同收入水平下家庭消费支出的分布情况 样本回归函数（SRF） 由于在大多数情况下，我们只知道变量值的一个样本，要在样本信息的基础上估计PRF。 样本1 175 145 135 145 120 118 80 90 88 55 Y（支出） 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 X（收入）