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第二章 线性系统的数学模型 2-1 线性系统的输入—输出时间函数描述 [例1]：写出图示一阶RC电路的微分方程。 [例2]：写出二阶RC网络的微分方程。 [例2]：写出二阶RC网络的微分方程。 [例3]：写出RLC串联电路的微分方程。 [例4]：求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。 K为弹簧的弹性系数， f为阻尼器的阻尼系数，忽略小车与地面的摩擦，试写出以外力F为输入，以位移y为输出的系统微分方程。 [例5] 2-2 线性系统的输入—输出传递函数描述 一、复习拉氏变换 二、传递函数的概念 2-3 非线性数学模型的线性化 2-4 典型环节的数学模型 1.比例环节 2.惯性环节 3.积分环节 4.微分环节 （2）实用微分环节 （3）一阶微分环节(比例微分环节) 5.振荡环节 6.延迟环节(纯滞后环节、迟滞环节) 2-5 建立数学模型的实验方法简介 2-6 框图及其化简方法 二、绘制系统框图的步骤 三、框图的等效变换和化简 （一）环节组合的等效变换 信号流图与结构图的转换 实例： 利用运算阻抗的概念： ∴传递函数： 利用“虚短”、“虚断”的概念，可得： ① R1 R2 _ + C 实例： 利用运算阻抗的概念： ∴传递函数： ② _ + C1 R C2 ③ 利用运算阻抗的概念及电路定律： R C 为输入量， 为输出量 微分方程： 传递函数： 令 ， 则 —— 无阻尼自然振荡频率， —— 阻尼比。 n w x 特点：当输入为阶跃信号时，输出量可能呈现 振荡特性（ 时）。 1 0 x 0 极点分布图 阶跃响应： c(t) t 单位阶跃响应曲线 0 为输入量， 为输出量 实例： i u o u L R C i i o o o u u u t d d RC u t d d LC = + + 2 2 微分方程： 传递函数： 微分方程： 框图： 传递函数： 阶跃响应： c(t) t 1 0 t r(t) —— 延迟时间 t R(s) C(s) t 特点：输出量是输入量在一定时间 后的复现 。 c(t) 在实际的控制工程中，有许多系统具有传递滞后的特征，特别是液压、气动和机械传动系统。 对于计算机控制系统，由于计算机进行数学运算需要一定时间，因此这类系统也有控制滞后的特征。 上述六种典型环节是按数学模型的特征来划分的，因此，它们与系统中的部件不一定能完全相对应。即一个部件的传递函数可以由若干个典型环节的传递函数所组成；反之，若干个部件传递函数的组合，有可能用一个典型环节的传递函数来表示。 通常自动控制系统均可看成各种典型环节的组合。 通过机理分析法去建立被控对象的数学模型有诸多局限性，因此通过实验测试被控对象动态性能去建立数学模型就成为一种较为常见的建模方法。 自动控制系统是由被控对象、控制环节和反馈环节三个基本部分组成。通常所说的建立控制系统的数学模型，首要的就是建立被控对象的数学模型。只有在被控对象的数学模型确定后，才能根据预期的性能要求及限制条件去选择某种控制环节和反馈环节，从而构建出能够达到目标的控制系统。 用实验的方法确定被控对象的数学模型时，涉及到两个主要问题： 一是如何选择和确定恰当的输入激励信号。原则是既要选择能够较为容易取得的典型信号，同时又要使被测对象在此输入信号激励后所检测到的响应便于数据处理而获得数学模型。 二是从检测得到的对象输出端的响应到获得数学模型的数据处理方法应该简单实用且能满足一定的精度要求。 用实验的方法去确定被控对象的数学模型，通常是在被控对象的输入端施加一适当的激励信号，同时在被控对象的输出端检测出其响应（即动态特性）。然后将实验所得通过某种处理，得到被控对象的数学模型。此时得到的数学模型即是被控对象的输入—输出描述，不涉及其内部结构和机理。 1.时域测定法 在输入端施加阶跃信号或脉冲信号，在输出端检测出被激励后的响应，然后对所得阶跃响应或脉冲响应进行数据处理，以获得相应的数学模型。 2.频域测定法 在输入端施加不同频率的正弦信号，同时检测输出端在不同频率时的响应，然后经过数据处理以确定被控对象的数学模型。 3.统计相关测定法 在输入端施加某种典型的随机信号，然后根据各参量的变化，采用统计相关法确定被控对象的动态特性和数学模型。 根据输入激励信号不同，目前主要有三种实验方法： 对于控制系统中的每个元件（环节），都可以用框图来表示它的功能和信号流向，即把元件的传递函数写在方框内，指向方框的箭头表示输入，从方框出来的箭头表示输出。 按照信号传递关系，从输入量到输出量依次把各个