模糊数学第一章分析.ppt

例4 设 X ={1, 2, 3, 4}, Y ={ 2, 3, 4}, Z = {1, 2, 3}, R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是Y 到 Z 的关系, R1 ={(x, y) | x + y = 6} = {(2,4), (3,3), (4,2)}, R2 ={(y, z) | y – z = 1} = {(2,1), (3,2), (4,3)}, 则R1与 R2的合成 R1 ° R2={(x, z) | x + z = 5} = {(2,3), (3,2), (4,1)}. 3. 关系的运算 4. 特征关系 称为R的特征关系。 5. 等价关系与划分（Equivalency relations and Partition) 在我们的周围有众多的事情要我们去处理,怎么高效率的处理这些问题呢?一个简单的方法就是分门别类地去处理,而分门别类地去处理事情的数学基础是利用等价关系去分类. 5. 等价关系与划分（Equivalency relations and Partition) 则称R是一个X上的等价关系。 补讲等价和划分的概念 5. 等价关系与划分（Equivalency relations and Partition) 几点说明： 对称关系不是反对称关系（aRb且bRa得到b=a)的 反义。 ? 有些关系既是对称的又是反对称的，比如“等于”。 有些关系既不是对称的也不是反对称的，比如整数 的“整除”。 有些关系既是对称的但不是反对称的，比如“模n同 余。 ? 有些关系不是对称的，但是反对称的，比如“小于”。 5. 等价关系与划分（Equivalency relations and Partition) 例.考虑自然数集N上的同余关系 的等价类。因为任何自然数除以3，其余数只能是0，1，2，所以在集合N上只有由0，1，2产生关于 的3个等价类（约定 ）： 这三个等价类满足: 称这三个子集为集合N的一个划分。 5. 等价关系与划分（Equivalency relations and Partition) 定理：若R 是集合上的等价关系，则等价类的集合 称集合{ Ai } 是集合 A 的一个划分.每个集合Ai叫做这个划分的一个类。 定义：设A是一个非空集，而Ai， （指标集K可以是有限的，也可以是无限的）是集合A的某些非空子集，如果 构成A的一个划分。 6. 格 (Lattices) 定理1 则有： (1)幂等律： (2)交换律： (3)结合律： (4)吸收律： 证明： (1)(2)是显然的 本章小结 一、集合的有关概念 1、特殊的集合：空集、全集、子集和幂集。 2、集合的运算：并、交、差和余，各种运算的性质。 3、集合运算的基本定律：交换律，结合律，分配 律，吸收律，德.摩根律等。 4、映射和扩张：一些典型映射，单射，满射和双射。 5、集合的特征函数。{0，1}映射。 二、关系 1、笛卡尔积。 2、关系的定义：笛卡尔积的子集。二元关系 本章小结 3、关系的表示方法：集合、矩阵和关系图。 4、关系的合成。 5、关系的性质：自反性、对称性、反对称性和传递性。 6、特殊的二元关系及其相关特性：等价关系（自反性、 对称性、传递性）、等价类、 7、格的定义及其性质。 8、特殊的格：分配格、完全格、Boole代数、软代数。 * * * 我们要讨论什么，首先要清楚，我们是在一个什么样的范围上讨论。 * 问：集合“人”是应该是什么？ 概念与集合 概念可以用集合来表示 我们讨论具体问题时，要有论域（议题限制在一定范围内） 例如： 在论域“人”上，讨论概念“男子” 一、集合 概念与集合 从集合“人”中挑出所有男子，构成一个子集A A是概念“男子”的 外延 是概念“男子”的集合表现 概念可以用集合来表示 一、集合 一、集合 经典集合的回顾 十九世纪末，康托（Contort）建立了经典集合论。 经典集合论是现代数学各个分支的基础，其本身 也是一门严格体系的数学分支。 我们可以从常见事物中，抽象出集合这一概念： 具有某种特定属性的，彼此可以区别的对象的全体，叫做 集合。 每个集合里通常包含有若干个体，集合里的每个个体，成 为集合中的一个元素。 同一集合中的元素都具有某种共性，该集合被讨论的全体对 象，称为论域。 一、集合 1. 集合的有关概念 相等: 空集: 不含任何元素的集合, 子集: 真子集: 则称 幂集: U的所有子集的集合称为U的幂集,记为P(U) 例如：