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数学思想方法——分类讨论的思想 浙江省台州中学 胡川贵 2005年4月29日 * * * * 例1.现有A，B，C三个房间，A房间可住３　　　 　　人，B房间可住２人，C房间可住１人，　　 　　今有３个男大人和2个男孩分住这些房 　　间，儿童须由成人陪同方能入住，他们 　　分别入住这些房间的方法共有（　　） 　　A.24种 B.27种 　　　 　　C.72种 D.120种 B 高考趋势展望: 分类讨论是一种重要的数学思想方法,它在高考中占有十分重要的地位,分类讨论试题具有明显的逻辑性,综合性,探索性的特点,试题难度属中高档. 引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种: 1.涉及的数学概念是分类定义的. 2.运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分　 　类给出的. 3.求解的数学问题的结论有多种可能性. 4.数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值　 　会导致不同的结果. 5.较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论 　的解题策略来解决的. 　简化分类讨论的策略主要有:正难则反,换元法,数形结合等等. (2)确定分类标准; (3)逐步进行讨论; (4)归纳小结,总结出结论. 主干知识整合: 1.分类的原则:分类的标准要统一;分类要做到不重不漏. 2.分类方法： (1)明确讨论的对象; 例2．设数列｛an｝是首项为１，公比为q（q0）的等比数列，其前n项 和为Sn，求 解: 由已知得, 当 q1 时 当 q≠1 时, 当 0q＜1 时 当 q＝1 时， 展望2005年高考,用分类讨论的思想来解决,在高考试题的解答题中越来越体现出其重要地位,复习时也应通过对历年高考题的剖析,来领会分类讨论的思想方法,发展数学思维,提高解题能力. 例3.（2004年北京卷,19）某段铁路线上依次有A 、B 、C 三站,AB=5km,BC=3km,在列车运行时刻表上，规定列车８时整从A站出发，８时07分到达B站并停留１分钟，８时12分到达C站．在实际运行时，假设列车从A站正点发车，在B站停留１分钟，并在行驶时以同一速度vkm/h匀速行驶，列车从A到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差． (1)分别写出列车在B、C两站的运行误差； (2)若要求列车在B、C两站的运行误差之和不超过２分钟，求v的取值范围． 例4.已知函数 f(x)=x4-ax3+x2-2 有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围． 例5.　2008年北京奥运会女排共有12支球队参赛，他们分成两个小组，每个小组6个队进行单循环赛，比赛的规则是“五局三胜制”，小组赛后，每组的前两名进入决赛．假若中国队在每场比赛中对其他各队每局的胜率均是相同的，且为　　，求在 冠亚军决赛中中国队获胜的概率． 答：P= 。 m ， m x m x x x 的范围 求实数 有共轭复数根 的方程 已知关于 0 ) 2 ( 例6 2 3 = - - + + 答案: m 1或 m=-3 明确对象是基础 确定标准是关键 不重不漏须做到 归纳小结不可少 总结经验与教训 取得高分并不难 １.以抛物线y2=8(x+2)的焦点和准线分别为椭圆的焦点和准线，求椭圆短轴的端点的轨迹． 答案: 椭圆短轴的端点的轨迹为抛物线: 练习： ２.二次函数y=x2+ax+1在[2,3]上恒有y0成立，则a的取值范围是　　　　（　　） ３.（2004年上海卷)若函数f(x)=a|x-b|+2在[0,+∞)上为增函数,则实数a,b的取值范围为 _______________ ４.某民航站共有1到4四个入口,每个入口处每次只能进一个人,一小组4个人进站的方案数为________. ５．一只蚂蚁在长方体AC1的表面A处，长方体的长，宽，高分别为a,b,c(abc)，这只蚂蚁从A出发沿表面到达C1的最短距离为______________ 840种