2-2极限的概念.ppt

第二节 一 、数列的极限 有界性 例如, 定义2.3 (3) 几何解释 例1 已知 例4 1. x ? ?时函数 f (x)的极限 例6 证明 2. x ? x0时函数 f (x)的极限 注 例7 证明 (2) 单侧极限 例9 设函数 内容小结 例4-1已知 例5-1 例6-2 例8 例9-1 证明 例10-1 例11-2 例7 证明 证 故取 当 时 , 必有 因此 证 只要 例8 左极限 : 有 极限存在的充要条件: 当 时, 右 讨论 时 的极限是否存在 . 解 因为 所以 不存在. 1. 数列极限的 “ ? – N ” 定义及应用 2. 函数极限的 或 定义及应用 思考与练习 1. 若极限 存在, 2. 设函数 且 存在, 则 是否一定有 3. 左、右极限定义及左、右极限相等的等价条件 故 时, 证明 证 要使 只要 即 取 则当 N不唯一,证明时可以适当放大 也可由 取 有 证 注意到 为了使 于是 a = 因此, 则当n N 时,有 只要使 证 例5-2 证 例6-1 证 证 分析 证 要使 取 则当 时 , 必有 因此 只要 证 由不等式 可得 已知 即 于是证明了 左右极限存在，但不相等, 证 例11-1 二 、函数的极限 一、数列的极限 极限的概念 第二章 1. 数列极限的定义 (1) 数列： 简记作 称为通项(一般项) . 数列也称为整标函数. 自变量取正整数的函数, 例如, 例如, 有界 无界 单调增加 单调减少 单调数列 单调性 设有数列 如果当n无限增大时, xn 无限趋近于某个确定的常数a , 的极限, 这时,也称数列{ xn } 收敛于a. 否则, 称数列{ xn } 发散. 则称a为数列{ xn } 记作 (2) 数列极限的定义定义2.2 趋势不定 收 敛 发 散 “无限增大”，“无限接近”意味着什么?如何用数学语言定量地刻划它？ a接近b的程度用绝对值： 表示. 问题: 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散. 或 则称该数列{ xn } 的极限为 a , 3° N 由 所确定，故记 但不唯一. 4° 不能与n 有关. 5° 数列极限的定义未给出求极限的方法. 注 一般来说， ε越小， N 越大; 时， 恒有 注 证明数列 的极限为1. 证 要使 即 只要 因此 , 取 则当 时, 就有 故 N是正整数,所以要取整 证 所以 结论: 常数列的极限等于同一常数. 例2 证 (1) (2) 要使 即 只要 例3 证 分析 N不唯一,证明时可以适当放大 故得证. 也可由 取 注 将 适当放大的目的，是为了 易于求 N. 放大时，应该注意适当 ！ 小结: 用定义证明数列极限存在时, 关键是任意给定 ? 0, 寻找 N, 但不必求最小的N. 证明： 证 要使 只要 即 则当 n N 时， 有 从而 例5 思考: 对于例5, 下列推导是否正确： 要使 只要 故取 …… N 不能与 n 有关！ 子数列 例如， (4) 数列极限的性质 定理1 以下三个命题等价 有一子列发散的数列必发散 或两个子列都收敛但收敛于不同值的数列也发散，例 定理2 收敛的数列必定有界. 证 由定义, 注意 有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 收敛 有界 自变量的变化过程有六种形式: 二、函数的极限 (1) 定义2.3 设函数 当 (M为某一正数） 时有定义 , 如果存在常数 A , 当 时, 有 则称常数 A 为函数 当 时的极限, 记作 当 时, 有 (2) 几何解释 注 当 时, 有 当 时, 有 1° 时函数 f(x) 的极限： 定理 2° 或 则称直线 y = A为曲线 y = f (x) 的水平渐近线. 如果 例如， 都有水平渐近线 都有水平渐近线 又如， 再如， 都有水平渐近线 证 取 因此 注 就有 故 欲使 即 (1) 时函数极限的定义 定义2.4 设函数 在点 的某去心邻域 则称常数 A 为函数 当 时的极限, 或 当 时, 总有 内有定义. 如果有常数 A, 记作 几何解释: x O 1