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一节课微积分入门“一节课微积分入门”原本是笔者制作的一个教学视频,在酷6网上点击率一度突破12万(可惜现在删了,但土豆网上还有),而大学教授的同类视频,点击率最高才2千多。笔者身边好几个学不懂微积分的人都在里面受益。这是笔者独创的一套最简捷,清晰,易懂的教学方法,从零开始,在短短的40分钟内,让大家理解:微积分最基本的原理,牛莱公式的本质含义和基本求导方法。希望能在微积分教学的历史长河中留下一朵小小的浪花。考虑到很多朋友不喜欢看教学视频,而更喜欢阅读文档,笔者把最基本的教学思路整理下来,供大家学习和参考,(看不懂的可以网上搜视频做为辅助学习)目录:巧妙的叠加方法问题的提出:求y=x2曲线围成的面积切割法求出近似面积寻找“远房表叔”来帮忙对“远房表叔”进行切割和叠加“表叔”和“表侄”的一一对应。一一对应关系式的提出一一对应关系式的进一步表达:牛莱公式一一对应关系式的变形:导函数的定义求导的2个例题导函数的意义巧妙的叠加方法方法一非常麻烦,要测1千次,再加1千次,方法二就简单多了,因为反正不需要知道每个小棍子的长度,只测一次就够了。这就是“叠加法”,在后面的微积分学习中,我们会非常巧妙的用到“叠加法”。2 问题的提出:求y=x2曲线围成的面积这种曲线围成的面积,显然用初等数学无法解决,这就需要我们巧妙构思,另辟蹊径了。3 切割法求出近似面积我们把横坐标切成1000份,然后切割出999个小长方形,每个小长方形的宽都是1/1000,小长方形的长则是该点对应的函数值,这样每个小长方形的面积都可以求出来了。阴影部分面积≈999个小长方形面积的总和。但这种方法,要计算近1千次,再相加近1千次,太麻烦了,而且还只能得到近似值,显然我们不是我们想要的方法。我们想到了例题中“叠加法”,可是怎么用“叠加法”呢?寻找“远房表叔”来帮忙这时,我们要请一位“大神”登场了,自己解决不了,请“远房表叔”来帮忙。我们为什么说y=1/3 x3 是y=x2的远房表叔呢?这位表叔又能帮什么忙呢?我们拭目以待。为了区别,原来的“表侄“标记为P(x)=x2,,”表叔“标记为Q(x)=1/3 x3对“远房表叔”进行切割和叠加在这里,为了和“表侄”一一对应,“表叔”同样把横坐标切成1000份,但不再切割成小长方形,而是像上楼梯一样,切成1000根红色的小木棍。其中第一根小木棍因为太短而忽略掉,余下的999根小木棍(L1至L999),放到右边去叠加,首尾相连构成一条直线(即前面的例题中的“叠加法”),正好是当x=1时,Q(x)=1/3 x3的函数值。所以,L总长度≈1/3,6 “表叔”和“表侄”的一一对应现在我们进一步分析这个图形,先来计算一个例子:第700根小木棍的长度。最后得到的三项中,第一项是,第二项是比第一项要小近千倍,第三项比第一项要小近百万倍,所以都可以忽略,只保留第一项。而第一项恰恰就是“表侄”的第700个小长方形的面积。原来他们果然有关联,是亲戚关系。这里要强调的是,只有Q(x)=1/3 x3才能和P(x)=x2进行一一对应。别的函数即使切成1000份,也无法和P(x)=x2进行一一对应,不信大家自己可以去计算,所以“表叔”是不能乱认的。因为存在着一一对应关系, 999个小长方形的求和,就可以转化为999根小木棍的求和了。而999根小木棍的求和,我们刚才已经用“叠加法”算出来了,是1/3。除了切成1000份外,表叔和表侄,还可以同时切成10万份,同时切成10亿份,那么前面的忽略项更加可以忽略了,表叔和表侄更加实现了一一对应。当切割成无数份后,表叔和表侄完全的一一对应,我们可以得到确定的答案:这个曲线围成的面积问题彻底解决。7一一对应关系式的提出现在,我们把这个例子理论化和公式化,以寻找普遍的规律。在上题中,第700个小长方形和第700根小木棍一一对应,用x替代x700,用△x代替1/1000,我们就可以得到一一对应关系式了。△x表示微小增量,趋近于零。两个函数之间,如果存在一一对应关系式,那么就构成表叔表侄的亲戚关系,前者称做导函数,后者称为原函数。(看不懂的话,可以参考教学视频)8一一对应关系式的进一步表达:牛莱公式将一一对应关系式,换种写法,用dx来替代△x,改写成,再引入积分符号(表示叠加),即为牛莱公式。可以初步理解为“小面积的叠加”,转化为“小线段的叠加”,再转化为“一次性算出”。9一一对应关系式的变形:导函数的定义将一一对应关系式中的△x移到方程的右边,即可初步得到导函数的定义式。根据导函数的定义式,就可以求出一些简单的导函数了。12 求导函数的2个例题从这个例题,更加可以清晰的看到,为什么Q(x)=1/3 x3能和P(x)=x2进行一一对应,不用再做复杂的切割图形了。在这个例题中,可以看到求导时,遇到求不下去的情况,需要一些技巧和
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