2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)试题及点评.doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 理科数学 本试卷共21小题，满分150分，考试用时120分钟． 试卷类型: Ｂ 参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． １．已知全集，集合和的关系的韦恩（Ｖenn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）. Ａ．３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个 ２．设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位i，（ ）. Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２ ３．若函数是函数且的反函数，其图象经过点，则（ ）. Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ４．巳知等比数列满足，且，则当时，（ ）. Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5．给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是（ ）. Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．③和④ Ｄ．②和④ 6． 一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知成60°角，且的大小分别为２和４，则的大小为（ ）. Ａ．６ Ｂ．２ Ｃ． Ｄ． 7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）. Ａ．36种 Ｂ．12种 Ｃ．18种 Ｄ．48种 8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是（ ）. A．在时刻，甲车在乙车前面 B．时刻后，甲车在乙车后面 C．在时刻，两车的位置相同 D．时刻后，乙车在甲车前面 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～12题） 9．随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则图3所示的程序框图输出 ，表示的样本的数字特征是 ． （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”） 10．若平面向量满足平行于轴，，则 ． 11．巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为_________________． 12．已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则 ， ． （二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）若直线与直线（为参数）垂直，则 ． 14．（不等式选讲选做题）不等式的实数解为 ． 15．(几何证明选讲选做题）如图4，点是圆上的点， 且，则圆的面积等于 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分） 已知向量与互相垂直，其中． （1）求的值； （2）若，求的值． 17．（本小题满分12分） 根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表: 对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图5． （1）求直方图中的值； （2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数； （3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. (结果用分数表示．已知, , ） 18．（本小题满分14分） 如图６，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点,分别是棱的中点．设点分别是点在平面内的正投影． （1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （2）证明：直线； （3）求异面直线所成角的正弦值. 19．（本小题满分14分） 已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合． （1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程； （2）若曲线与有公共点，试求的最小值． 20．（本小题满分14分） 已知二次