第6节---极限存在准则.ppt

第六节 一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 定理1. 定理1. 例1. 证明 1. 夹逼准则 (准则1) 例2. 证明 2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) 例3. 设 根据准则 2 可知数列 2. 函数极限存在的夹逼准则 二、 两个重要极限 注 例4. 求 例5. 求 2. 例7. 求 例8. 求 内容小结 2. 两个重要极限 思考与练习 * * 二、 两个重要极限 一、函数极限与数列极限的关系 及极限存在准则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在准则及 两个重要极限 1. 函数极限与数列极限的关系 定理1. 有定义, 为确定起见 , 仅讨论 的情形. 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有定义, 且 设 即 当 有 有定义 , 且 对上述 ? , 时, 有 于是当 时 故 可用反证法证明. (略) 有 证： 当 “ ” “ ” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有定义 且 有 说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列 不存在 . 法2 找两个趋于 的不同数列 及 使 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不存在 . 证: 取两个趋于 0 的数列 及 有 由定理 1 知 不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 由条件 (2) , 当 时, 当 时, 令 则当 时, 有 由条件 (1) 即 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 利用夹逼准则 . 且 由 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明数列 极限存在 . 证: 利用二项式公式 , 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 大 大 正 又 比较可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记此极限为 e , e 为无理数 , 其值为 即 有极限 . 原题 目录 上页 下页 返回 结束 又 定理2. 且 ( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 圆扇形AOB的面积 证: 当 即 亦即 时， 显然有 △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 故有 注 注 目录 上页 下页 返回 结束 当 时 解: 例3. 求 解: 令 则 因此 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 = 例6. 已知圆内接正 n 边形面积为 证明: 证: 说明: 计算中注意利用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 当 时, 设 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 则 从而有 故 说明: 此极限也可写为 时, 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 说明 ：若利用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 原式 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的不同数列 1. 函数极限与数列极限关系的应用 (1) 利用数列极限判别函数极限不存在 (2) 数列极限存在的夹逼准则 法1 找一个数列 且 使 法2 找两个趋于 及 使 不存在 . 函数极限存在的夹逼准则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 注: 代表相同的表达式 机动 目录 上页 下页 返回 结束