数理方程总结(944KB).ppt

解②得： 解③：设r=et，则③变为： 利用 ③的解为 迭加特解得通解： 代入边条件定解: 法一： 直接比较系数： 【例2】均匀电场E中放入一接地导体球， 半径为a，求 球外电位分布 o z 解：列出定解问题 方程： 如果oz轴选择与电场同方向， 则u=u (r,?)，与φ无关。 静电场且无电荷分布的区域 中，电位满足拉氏方程。 边条件： 1）r=a处，u (a,?)=0（接地 ） 2）r=∞处 无穷远处电场分布不会受到导体球上感应电荷 的影响，电场仍为匀强场。 球系 3）?=0,π处仍提有界条件 ∴定解问题 ① 设u (r,?)=?(?)R (r)代入①中方程及有关边条件, 和： ③ ② 得： 解②得： 解③得： 通解： ∵r→∞，r -(l+1) →0，先用r=∞处的边条件定解： 定解： 直接比较系数： 代入通解 连带勒让德函数 一、连带勒让德方程本征值问题及其解 当u=u (r,?,φ)不具有旋转对称性时，经变量分离后 ?(?)所满足的方程为连带勒让德方程 ① ①为连带勒让德方程的本征值问题 ?—本征值，m2——是?的本征值 注： 1） －m阶l次连带勒让德函数 － l次勒让德函数的m阶导数 是m=0时的连带勒让德函数 ?①的解可写为 4)前几阶次的连带勒让德函数 三、应用举例 ① 解：设u＝R(r)?(?)?(?)代入①中方程及有关边条件 ② 得： ③ 和 解②得： 解③得： ④ 和 解④得： 迭加特解得通解： 代入边条件定解： 其中： 由以上三式给出 矩算符，球面函数 一、矩算符及其性质 其中： 只对球面函数起作用 性质 （1）在球面函数空间中，L2是一厄米算符 （2）矩算符的本征值问题及其解： ② ②为矩算符的本征值问题(偏微分方程的…） 本征值：?＝？本征函数：Y＝？ 设u (r,?,?)=R (r) Y( ?,?)代入 及有关边条件 分离变量： 代入②得： ③ 和 ④ 解③ ④得： 通常记作： 由欧拉公式： 量子力学中经常用到的球谐函数的另一种形式为： 矩算符本征值问题解的三种形式 ① ② ③ （3）本征值的简并 当?l=l(l+1)取定后： 共有2l+1个不 同的本征函数 1个 2l个 ∴L2的本征值是2l+1度简并的 2l+1个 [例1]按球函数 将下列函数展开 ① ② 解: ①分析展开形式取 的形式 ② sin m?, cosm?均为倍角形式 ∴将cos2?变形 其中： 而： 【例2】半径为a的均匀导体球，表面温度 求稳定时，球内外温度分布 解：定解问题（球内） ① 设u (r,?,?)=R (r) Y( ?,?)代入①中方程及有关边条件， 和： ③ 解②得： ② 得： 解③得： 通解： (1)定解 (2)定解 球外通解 定解（1） (2) （3）求解本征值问题②： ④ (4) 求解相应的方程③的解（将本征值代入） (5)构成特解 （6）特解叠加得通解 令通解满足非齐次初条件，求解迭加系数 （2）求解的主要步骤 齐次泛 定方程 分离变量 u=XT T (t)的常 微分方程 X (x)的常 微分方程 应的T n 求出相 求出?n、Xn (x) 解本征值问题 齐次边 条件 分离变量 u=XT X (x)的边条件 迭加 特解 得通 解 初条件 代入通解求出迭加系数 (3)关于常微分方程的本征值问题 (*) i) ii) iii) iv) 弦振动方程 热传导方程 非齐次方程、齐次边条件的初值边值问题 【例】两端固定弦的受迫振动： 设：弦上单位质量上作用着外力f (x ,t) ① 法一：按本征函数系展开法 法二：齐次化函数法 一、按本征函数系展开法 两端固定弦的自由横振动的解： 是由齐次方程+齐次边条件（第一类）构成 的本征值问题中解出的本征函数系 主要步骤： （1）求相应齐次方程齐次边条件的本征函数系 （2）按本征函数系展开u (x ,t)和定解问题中所有 非齐次项，并由方程和初条件分离出Tn (t)的 常微分初值问题。 （3）求解Tn的常微分初值问题，代入u (x ,t)即得结果 二、齐次化函数法 理论依据：线性算子的性质 【例1】求重力作用下，两端固定弦的横振动。初速 度及初位移均为零 ① 设：u (x ,t)=v (x ,t) +? (x ,t) 令? (x ,t)满足： ③ 则v (x ,t) 一定满足 ④ 分析：将① u=v+? ③解? ④解v u=v+? 由方程知：?xx→常数，最简单的?(x)＝Ax2+Bx+C 设： ?(x)＝Ax2+Bx+C代入③ ⑤ 【例2】求解定解问题 设u=v+?代入①得： ② 和 ③ ① 设： 代入②