第3章图形的平移与旋转专题课堂三旋转与三角形的综合应用(1447KB).pptVIP

八年级数学下册(北师版) 专题课堂(三)　旋转与三角形的综合应用 第３章　图形的平移与旋转 共顶点的图形旋转与全等 例1　如图，把一个直角三角形ABC(∠ACB＝90°)绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置，F，G分别是BD，BE上的一点，BF＝BG，延长CF与DG交于点H. (1)求证：CF＝DG； (2)求∠FHG的度数． 解：证明：(1)由旋转的性质可知BC＝BD，∠ABC＝∠EBD，在△CBF和△DBG中，BC＝BD，∠CBF＝∠DBG，BF＝BG，∴△CBF≌△DBG(SAS)，∴CF＝DG　(2)∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF＝∠BDG，又∵∠CFB＝∠DFH，∴∠DHF＝∠CBF＝60°，∴∠FHG＝180°－∠DHF＝180°－60°＝120° 变式练习 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线CD绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CE，连接EF. (1)求证：△BCD≌△FCE； (2)若EF∥CD，求∠BDC的度数． 解：(1)∵∠BCD＋∠DCF＝∠FCE＋∠DCF＝90°，∴∠BCD＝∠FCE，在△BCD和△FCE中，BC＝FC，∠BCD＝∠FCE，CD＝CE，∴△BCD≌△FCE(SAS)　(2)∵△BCD≌△FCE，∴∠BDC＝∠E，又∵EF∥CD，∴∠DCE＋∠E＝180°，又∵∠DCE＝90°，∴∠BDC＝∠E＝90° 等腰(边)三角形与旋转 例2　由正多边形的定义可知等边三角形的三条边都相等，每个内角都等于60°.如图①，△ABC，△CDE都是等边三角形． (1)试确定AE，BD之间的大小关系； (2)若把△CDE绕C点按逆时针旋转到图②的位置时，上述结论仍成立吗？请说明理由． 解：(1)AE＝BD.理由：在△ACE和△BCD中，AC＝BC，∠ACE＝∠BCD，EC＝DC，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD (2)成立．∵∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC＝BC，∠ACE＝∠BCD，EC＝DC，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD 变式练习 2．如图，已知∠ABC＝90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合)，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F.求∠QFC的度数． 解：∵∠BAP＝∠BAE＋∠EAP＝60°＋∠EAP，∠EAQ＝∠QAP＋∠EAP＝60°＋∠EAP，∴∠BAP＝∠EAQ，在△ABP和△AEQ中，AB＝AE，∠BAP＝∠EAQ，AP＝AQ，∴△ABP≌△AEQ(SAS)，∴∠AEQ＝∠ABP＝90°，∴∠BEF＝180°－∠AEQ－∠AEB＝180°－90°－60°＝30°，∠EBF＝∠ABP－∠ABE＝90°－60°＝30°，∴∠QFC＝∠EBF＋∠BEF＝30°＋30°＝60° 八年级数学下册(北师版)