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4.4 非线性系统的Lyapunov稳定性分析 写成矩阵的形式为 因此D.G.Shultz和J.E Gibson提出，先假设gradV为某一形式， 譬如为 并根据 为负定的要求确定gradV，进而确定上式中的未定系数，然后由这个gradV 按下式导出V(x) 现代控制理论基础 * 4.4 非线性系统的Lyapunov稳定性分析 如果求出的V(x)是正定的，这就是给定系统所要构造的 Lyapunov函数。 如果V(x)的梯度向量gradV的线积分与路径无关的话，那就必须要求gradV的旋度为零。即要求gradV满足如下方程 其中 对于一个n阶系统，应有n(n-1)/2个旋度方程。如n=3，则有下列三个旋度方程。 现代控制理论基础 * 4.4 非线性系统的Lyapunov稳定性分析 综上所述，如果非线性系统的平衡状态xe=0是渐近稳定， 则可按如下步骤求得系统的Lyapunov函数V(x)： ①按某一形式给出gradV； ②从gradV求出 ，并限定它为负定或至少是半负定的； ③用式旋度方程确定gradV中的未定系数； ④再核对一下 ，因为上一步计算可能使它改变； ⑤求出V(x)。 例4-8 试用变量梯度法判定非线性系统 在原点处是渐近稳定的。 现代控制理论基础 * 4.4 非线性系统的Lyapunov稳定性分析 解 设所求Lyapunov函数V(x)的梯度为如下形式 于是V(x)的导数为 试探地选取 则 如果 ， 则 是负定的，将 代入梯度公式有 现代控制理论基础 * 4.4 非线性系统的Lyapunov稳定性分析 注意到 满足旋度方程，所以 上面所求得的Lyapunov函数V(x)对于 的所有点都 是正定的，所以系统在上述范围内是渐近稳定的。 为了说明由上式所确定的Lyapunov函数不是唯一的，我们重新选择梯度表达式中未定系数为 现代控制理论基础 * 4.4 非线性系统的Lyapunov稳定性分析 于是 ，在整个状态平面上是负定的。 此时 ，由于 显然，若 ，则满足旋度方程，所以V(x)为 从这个Lyapunov函数可以看出，系统的原点在 范围内 是渐近稳定的。系统渐近稳定的范围比前面的大，因此这次构造的Lyapunov函数优于前者。 现代控制理论基础 * 4.5 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析 主要内容：用Lyapunov第二方法来分析线性连续定常系统以及线性定常离散系统的稳定性。 4.5.1 线性连续定常系统的稳定性分析 线性连续定常系统的状态方程为 假设所选的Lyapunov函数为二次型函数 其中P为 维实对称正定矩阵。 V(x)对时间的导数为 则有 欲使系统在原点处是渐近稳定的，则要求 是负定的， 因此必须有 式中 为正定对称矩阵。 现代控制理论基础 * 4.5 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析 定理4-6 线性连续定常系统 在平衡状态xe =0处渐近稳定的充分必要条件是给定一个正定 对称矩阵Q，存在一个正定对称P满足方程 上式又称为Lyapunov方程。标量函数 是系统的一 个Lyapunov 函数。 注意：如果 不恒等于零，则Q可取为半正定的 对称矩阵。 例4-9 设二阶线性定常系统的状态方程为 显然，原点是系统的平衡状态。试确定该系统的稳定性。 解 设Lyapunov函数为 现代控制理论基础 * 4.5 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析 矩阵P由下式确定 上式可写为 将矩阵方程展开，可得联立方程组 解方程组可得 下面检验矩阵P的正定性，P的各阶主子行列式 P是正定的。因