现代控制理论HUST现代控制工程第二章(2463KB).ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 2.6状态空间表达式求取传递函数（矩阵） * 1） 单输入—单输出（简称SISO）系统 设n阶线性定常SISO系统的状态空间表达式为 假设初始条件为零，对上式进行拉氏变换，则得 * 可得出如下结论：（1）系统矩阵A的特征多项式等同于传递函数的分母多项式； （2）传递函数的极点就是系统矩阵A的特征值； （3）多项式C·adj[sI-A]·B与d·det[sI-A]之和即为传递函数的分子多项式。 * 2) 多输入---多输出（简称MIMO）系统 当i≠j时，若gij(s)≠0 ，就意味着第j个输入对第i个输出有影响，即存在耦合关系。解耦系统的传递函数矩阵必为对角线型矩阵。 * 例 设某线性定常系统的状态空间表达式为 试求系统的传递函数矩阵G(s)。 解：这里D=0, 有 * * 2.7 状态变量和状态方程的线性变换 一、状态变量的线性变换 设线性定常系统的状态空间表达式为 若取一组新的状态变量W对上述表达式进行变换，且知新状态变量是原状态变量X的线性组合，即两组状态变量之间存在着非奇异线性变换关系，即 或 P为n×n非奇异变换矩阵 * 这里 ， 系统矩阵A→ ,控制矩阵B→ ，输出矩阵C→ ，直接传递矩阵不变， = D。这种由基底变换得到的系统方程，又称为等价系统方程。这种变换亦即所谓等价变换。 * 状态变量的线性变换具有极大的灵活性，原则上存在无穷多组变换。这就是说，虽然选取状态变量不同，所得到的系统方程也不同，但总可以通过非奇异线性变换，使不同系统方程之间进行等价变换。我们可以利用状态变量的非奇异线性变换得到所希望形式的状态方程，如某种规范型。另外，从状态空间的角度来看，状态变量的线性变换，就相当于状态空间的坐标变换。 * 二、基本概念 1. 特征矩阵 矩阵A的特征矩阵为 2.特征多项式 3.特征方程 4.系统的特征值 特征方程的根 (1) 一个n阶系统，系统矩阵A为n×n方阵，有且仅有n个特征值。 （2） 物理上存在的系统，A为实数方阵，其n个特征值或为实数或为共轭复数对。如果A为实数对称方阵，则其特征值均为实数。 * 5.特征向量 设λi是n×n矩阵A的一个特征值，若存在一个n维非零向量Pi使得 或 成立，则称Pi为A对应于特征值λi的特征向量。 说明：设λ1，λ2，…，λn为系统矩阵A的特征值，P1，P2，…，Pn是矩阵A分别对应于这些特征值的特征向量，当λ1，λ2，…，λn两两互异时，P1，P2，…，Pn线性无关，因此，由这些特征向量组成的矩阵P必定是非奇异的。这里 * 三、线性变换的基本特性 1.特征值的不变性对系统的状态方程作非奇异线性变换，其特征值不会改变。 * 2. 系统的不变量将特征方程写成多项式形式： 由于特征值完全由特征多项式的系数唯一地确定，而特征值经非奇异线性变换是不变的，那么这些系数也是不变的量，所以称特征多项式的系数为系统的不变量。 * 3.传递函数矩阵的不变性 * 四． 状态方程的规范化 将系统矩阵A具有一般形式的状态方程化为对角线规范型或约当（Jordan）规范形。 1 .系统矩阵A为任意形式 ① 当其系统矩阵A的特征值互不相同时，必存在非奇异矩阵P，通过等价变换X=PW，使得变换后的状态方程化为对角线规范型。 * 其中，对角线上元素λi（i=1，2，…，n）为方阵A的特征值。而变换矩阵P是以A的特征向量P1，P2，…，Pn为列向量构成的矩阵，即 在求取特征向量时，为简单计，常取其基本解。求P的方法是满足 或 * 其中对应于(n-q)个单根的特征向量pq+1,…pn求法同前，即 ②当其系统矩阵A的特征值有重根时，设系统矩阵A有q个λ1的重根，其余n-q个为互异的特征根，则变换矩阵为 而对应于q个重根的特征向量P1, P2,…,Pq按下式计算 * 这里，P1为λ1对应的特征向量，其余P2,…,Pq则为所谓广义特征向量。A可化为对角型或约当型。 * 2. 系统矩阵A为友矩阵(Companion Matrix)形式 ⑴当系统矩阵A的特征值无重根时： 可选取以下范德蒙特（Vandermode）矩阵将系统状态方程化为对角线规范型，即 * ⑵当系统矩阵A的特征值有重根时： 对于线性定常系统，如果其系统矩阵A具有友矩阵的形式，且其特征值为q重根，其余（n-q）个特征值为