现代控制理论HUST现代控制工程第三章b(1308KB).ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 首页 退出 跳转 首页 退出 跳转 首页 退出 跳转 首页 退出 跳转 第三章 线性系统的运动分析 3.1 线性定常连续系统的自由运动 3.2 状态转移矩阵的性质 3.3 线性定常连续系统的受控运动 3.4 线性定常离散系统的分析 3.5 连续系统的离散化 * 在控制u=0情况下，线性定常系统由初始条件引起的运动称为线性定常系统的自由运动，可由齐次状态方程描述 ： * 3.1 线性定常连续系统的自由运动 且 ，求导并考虑状态方程，得 齐次状态方程求解方法：幂级数法、拉普拉斯变换法和凯莱－哈密顿定理法。 幂级数法:设齐次方程的解是t的向量幂级数 式中， 都是n维向量， * 3.1 线性定常连续系统的自由运动 等号两边对应的系数相等，有 故 * 定义 则 称为矩阵指数函数，简称矩阵指数 ,又称为状态转移矩阵，记为 ： 求解齐次状态方程的问题，核心就是计算状态转移矩阵的问题 。 * 拉普拉斯变换法 ： 对 进行拉氏变换， 有： 进行拉氏反变换， 有： 与 相比 有： 它是 的闭合形式。 解 例 3-1 设系统状态方程为 ， 试用拉氏变换求解。 * 状态方程的解为 : * 凯莱－哈密顿定理 矩阵A满足它自己的特征方程。即若设n阶矩阵A的特征多项式为 则有 : 推论1 矩阵A的 次幂，可表为A的（n-1）阶多项式 ： * 从该定理还可导出以下两个推论： 推论2 矩阵指数 可表为A的（n-1）阶多项式，即： 在推论1中用A的特征值替代A后等式仍能满足： 利用上式就可以确定待定系数 ： 且各系数是线性无关的。 ) ( n k k 3 求解上式，可求得系数 ， ，… ，它们都是时间t 的函数，将其代入推论2式后即可得出 。 * 若 互不相等 ： 可写出各所构成的n元一次方程组为 ： * * 例3-2 已知 ，求 。 解 首先求A的特征值： 将其代入 ， * 有 ， * 若矩阵 A 的特征值是 m 阶的(m个重根)： 则求解各系数的方程组的前m个方程可以写成： 其它由 组成的（k - m）个方程仍与第一种情况相同，它们上式联立即可解出各待定系数。 * 例3-3 已知 ，求 。 * 解 先求矩阵 A 的特征值，由得： 3.2 状态转移矩阵的性质 状态转移矩阵 具有如下运算性质： * 1) 2) 3) 在式 3）中，令 便可证明； 表明 与 可交换，且 表明 可分解为 的乘积， 且 是可交换的。 3.2 状态转移矩阵的性质 * 4) 证明:由性质3）有 根据 的这一性质， 对于线性定常系统，显然有 5) 证明 :由于 则 即由 转移至 的状态转移矩阵为 * 6) 证明：由 和 得到 7) 8) 若 ，则 证明： 9) 若 ，则 * 例3-4 已知状态转移矩阵为 ，试求 。 解：根据状态转移矩阵的运算性质有 3.3 线性定常连续系统的受控运动 * 线性定常系统的受控运动: