现代控制理论HUST现代控制工程第四章b(1030KB).ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 首页 退出 跳转 首页 退出 跳转 第四章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析 4.1 李雅普诺夫稳定性概念 4.2 李雅普诺夫稳定性间接判别法 4.3 李雅普诺夫稳定性直接判别法 4.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析 * 1) 平衡状态: 如果对于所有t，满足 的状态 称为平衡状态（平衡点）。 * 平衡状态的各分量不再随时间变化；若已知状态方程，令 所求得的解 x ,便是平衡状态。 4.1 李雅普诺夫稳定性概念 （1）只有状态稳定，输出必然稳定； （2）稳定性与输入无关。 2) 李雅普诺夫稳定性定义： 如果对于任意小的? 0，均存在一个 ，当初始状态满足 时，系统运动轨迹满足lim ，则称该平衡状态xe 是李雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。 * 4.1 李雅普诺夫稳定性概念 表示状态空间中x0点至xe点之间的距离， 3) 一致稳定性： 通常δ与?、t0 都有关。如果δ与t0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。定常系统的δ与t0 无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。 其数学表达式为： 4）渐近稳定性： 系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有： * 称此平衡状态是渐近稳定的。 5）大范围渐近稳定性： 当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。 此时 * 6）不稳定性 ： 不论δ取得得多么小，只要在 内有一条从x0 出发的轨迹跨出 ，则称此平衡状态是不稳定的。 注意：按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时则认为是稳定的，同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。 设系统初始状态 x0 位于平衡状态 xe 为球心、半径为δ的闭球域内，如果系统稳定，则状态方程的解在的过程中，都位于以 xe 为球心，半径为ε的闭球域内。 * 稳定性定义的平面几何表示 （a）李雅普诺夫意义下的稳定性 （b）渐近稳定性 （c）不稳定性 4.2 李雅普诺夫稳定性间接判别法 * 李雅普诺夫第一法（间接法） 是利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法，它适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。 线性定常系统的特征值判据 系统 渐近稳定的充要条件是：系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部，即 证明：(略) 李雅普诺夫第二法（直接法）基本原理 ：根据物理学原理，若系统贮存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会到达平衡状态。 * 4.3 李雅普诺夫稳定性直接判别法 实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数，称之为李雅普诺夫函数。它与 及t 有关，是一个标量函数，记以 ；若不显含t ，则记以 。 考虑到能量总大于零，故为正定函数。能量衰减特性用 或 表示。 实践表明，对于大多数系统，可先尝试用二次型函数 作为李雅普诺夫函数。 4.3.1 标量函数定号性 * 负定性：标量函数 在域S中对所有非零x 有 且 ，则称 在域S内负定。 如 是负定的。 正定性：标量函数 在域S中对所有非零状态 有 且 ，则称 均在域S内正定。 如 是正定的。 如果 是负定的，则 一定是正定的。 负（正）半定性： ，且 在域S内某些状态处有 ，而其它状态处均有 （ ），则称 在域S内负（正）半定。 4.3.1 标量函数定号性 * 二次型函数 是一类重要的标量函数，记 其中，P 为对称矩阵，有 。