现代控制理论基础第3版孙炳达4控制系统的稳定性分析(637KB).ppt

状态空间描述为： 2、用李氏第二法判稳（令u=0） 1）Q能不能取做半正定？ 2）计算使实对称矩阵P为正定的k值范围 由判据4 得： 注意：P为正定实对称矩阵。 解得： 根据赛尔维斯特法则：如果P正定，则12-2k0，且k0 所以系统稳定的k值范围为0k6 二、线性定常离散系统的稳定性分析 判据5：线性定常离散系统的状态方程为 则系统在平衡点Xe=0处渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的对称正定矩阵Q，都存在对称正定矩阵P，使得： 且系统的李雅普诺夫函数是： 推导： 当取 时： 说明2：如果 沿任意一解序列不恒等于零，Q也可取为半正定的。 说明1： 仿线性连续系统，先给出正定对称矩阵Q，从以下方程中解出实对称阵P，然后验证P是否正定，是则系统是李氏渐近稳定的。 试用李氏第二法确定系统在平衡点 为渐近稳定的k值范围。 根据 得： [解]： 取： [例4-13]：已知线性离散时间系统状态方程为： 其中： 根据赛尔维斯特法则：如果P正定，则 ，即： k2，所以系统渐近稳定的k值范围为0k2 解得： 第四章 控制系统的稳定性分析 主要内容 动态系统的外部稳定性 动态系统的内部稳定性 李雅普诺夫判稳第一方法 李雅普诺夫判稳第二方法 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 控制系统的稳定性，通常有两种定义方式： 1、外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。有界输入有界输出稳定(BIBO)。 2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义的内部稳定性。状态稳定。 外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。 不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。 稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。 4.1 动态系统的外部稳定性 有界输入，有界输出稳定性定义： 对于零初始条件的因果系统，如果存在一个固定的有限常数 及一个标量 ，使得对于任意的 ，当系统的输入 满足 时，所产生的输出 满足 则称该因果系统是外部稳定的，也就是有界输入-有界输出稳定的，简记为BIBO稳定。 对于零初始条件的定常系统，设初始时刻 ，单位脉冲响应矩阵为 ，传递函数矩阵为 ，则系统为BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限常k，使 的每一个元 满足 或者 为真有理分式函数矩阵，且其每一个元传递函数 的所有极点处在左半复平面。 4.2 动态系统的内部稳定性 系统的平衡状态 状态向量范数 李雅普诺夫意义下稳定性定义（4种） 稳定 渐近稳定 大范围渐近稳定 不稳定 一、系统的平衡状态 平衡状态：对所有时间t，如果满足 ，称xe为系统的平衡状态或平衡点。稳定性针对平衡状态而言。 3、对任意 ，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标原点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。 说明： 1、对于线性定常系统： A为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。 A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。 2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。 4、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。 二、状态向量范数 符号 称为向量的范数， 为状态向量端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义为“状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定义式为： 李氏稳定几何表示法： 三、李雅普诺夫意义下稳定性意义 1、稳定与一致稳定： （系统的自由响应是有界的） 设 为动力学系统的一个孤立平衡状态。如果对球域 或任意正实数 ，都可以找到另一个正实数 或球域 ，当初始状态