现代控制理论基础第3版王孝武第2章节(1480KB).ppt

例2-8 线性定常系统的状态方程为 解 在例2-2中已经求得 由（26）式 系统的输出方程为 则 或 （29） 可见，系统的输出 由三部分组成。 当系统状态转移矩阵求出后，不同输入状态向量作用下的系统输出即可以求出，进而就可以分析系统的性能了。 2.4 线性时变系统的运动分析 （30） 线性时变系统方程为 2.4.1 齐次状态方程的解 （31） 初始状态为 其中， 是状态转移矩阵，并且满足以下方程 （33） 满足初始条件 （34） 根据我们对线性定常齐次系统解的知识，可以假设线性时变齐次系统的解应该具有以下形式，然后加以证明 （32） 证明 （32）式两边对 t 求导 并且 时 即 2.4.2 状态转移矩阵 的基本性质 1） 满足自身的矩阵微分方程及初始条件，即 2） 可逆性 3） 传递性 4） 2.4.3 状态转移矩阵 的计算 由性质1）可知： 对上式在 和 区间上求定积分，得 （35） 用级数近似法计算 移项后得： 将 反复代入自己的表达式之中（反复自我迭代）， 即得（35）式 对于线性定常系统，其状态转移矩阵同样可以用（35）式求得： 注意：1. 定常系统是时变系统的子集合，是时变系统中的特例； 2. 线性系统是非线性系统的子集合，是非线性系统中的特例； 反之，则不然。 解 将 代入（35）式 其中 计算系统状态转移矩阵 例2-9 线性时变系统齐次状态方程为 2.4.4 线性时变系统非齐次状态方程的解 （38） （39） 其解为 证明 [将（39）式代入状态方程（38）式，等式成立] （40） 或 2.4.5 系统的输出 （41） （42） 或 2.5 线性系统的脉冲响应矩阵 2.5.1 线性时变系统的脉冲响应矩阵 假设系统初始条件为零， 输入为单位脉冲函数，即 其中，τ为加入单位脉冲的时刻。而 第i 个分量 就表示在 时刻，仅在第i个输入端施加一个单位脉冲。系统的输出为： ? （43） 为m维向量，它表示系统输出 对输入 的第i个元素在τ时刻加入单位脉冲时的响应。 将 ， 按次序排列，则 （44） 线性时变系统脉冲响应矩阵 ≥ （45） 2.5.2 线性定常系统的脉冲响应矩阵 ≥ 脉冲响应矩阵为 （46） 如果单位脉冲出现在τ= 0 的时刻，则脉冲响应矩阵为 ≥ （47） 2.5.3 传递函数矩阵与脉冲响应矩阵之间的关系 对（47）式求拉普拉斯变换 L 而 （48） 上式可改写成 （49） 如果 存在，则 （50） 将（50）式代入（48），得到 （51） （52） 当D = 0 时 可见，线性定常系统在初始松弛情况下脉冲响应矩阵的拉普拉斯变换就是系统传递函数矩阵。 2.5.4 利用脉冲响应矩阵计算系统的输出 如果输入向量表示为 （53） 将（53）式代入（28）式 （54） 当系统初始状态为零时 （55） 2.6 线性连续系统方程的离散化 作以下假定： 1）被控对象上有采样开关； 2）采样周期为T，满足香农采样定理要求，包含连续信号全部信息； 3）具有零阶保持器。 2.6.1 线性时变系统 （56） 初始状态为 状态方程的解为 （57） 令 ， ，则 （58） （59） 再令 ， ，则 将（59）式两边都左乘 （60） （58）减（60）并且整理后，得到 令： 考虑到 于是 省略T，得到 （61） 输出方程离散化，令 ，即可以得到 （62） 2.6.2 线性定常系统 （63） 离散化后得到 （64） 其中 如果采样周期T很小，为系统最小的时间常数的1/10左右时，近似有 2.7 线性离散系统的运动分析 2.7.1 线性定常离散系统齐次状态方程的解 系统的齐次状态方程为： 其中，x(k)为n维状态向量 采用迭代法可以求出系统齐次状态方程的解 （65） 其中 （66） 系统的输出为 （67） 2.7.2 状态转移矩阵 若系统初始状态为 ，通过 将其转移到状态 ，故 称为状态转移矩阵。 1. 的基本性质 1）满足自身的矩阵差分方程及初始条件 2）传递性 3）可逆性 2. 状态转移