现代控制理论基础第3版王孝武第4章节(993KB).ppt

其中 （17） 如果 是负定的，则 是负定的。而 是正定的，故 是一致渐近稳定的。如果 ， ，则 是大范围一致渐近稳定的。为简便，通常取 ，这时 例4-10 非线性定常系统状态方程为 试分析 的稳定性。 解 雅可比矩阵 选择 W=I 则 检验 的各阶主子式： 并且 时，有 显然， 是负定的，故 是大范围一致渐近稳定的。 2. 变量梯度法 （这部分内容需要用到工程数学《场论》中的梯度、旋度等知识，而大部分院校自动化专业本科生没有学过《场论》，可以跳过这一段。） 4.7.2 用Lyapunov第一近似理论分析非线性系统稳定性 非线性定常系统方程为 如果当 ，有 ，则 为高阶无穷小项。 （18） 设 在 的邻域内，可以展开成台劳级数： （19） 忽略高阶无穷小，得到非线性系统的线性化模型 （20） 其中 这是一个雅可比矩阵 定理4-6 如果式（20）所描述的线性化系统，A 的所有特征值具有负实部，则式（18）所描述的非线性系统在 处为渐近稳定。 定理4-7 如果式（20）所描述的线性化系统，A 的所有特征值中如果有一个（或一个以上）具有正实部，则式（18）所描述的非线性系统在 处为不稳定。 Lyapunov第一法由以下3个定理组成： 定理4-8 如果式（20）所描述的线性化系统，A 的特征值中有实部为零的，而其余的特征值实部均为负，则式（18）所描述的非线性系统在 处是否为稳定则不能确定。（要取决于高阶项） 第4 章 结束 第4章 控制系统稳定性 对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的研究，经典控制理论无能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普诺夫（A. M. Lyapunov）的稳定性理论来分析和研究。 A. M. Lyapunov于1892年出版专著《运动系统稳定性的一般问题》，使得Lyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最重要的几个柱石之一。 本章的主要内容为 1. 引言 2. 李亚普诺夫意义下稳定性的定义 3. 李亚普诺夫第二法 5. 线性定常离散系统的稳定性 4. 线性连续系统的稳定性 6. 有界输入-有界输出稳定 7. 非线性系统的稳定性分析 4.1 引言 李亚普诺夫将稳定性问题的研究归纳为两种方法。 第一种方法是求出线性化以后的常微分方程的解，从而分析原系统的稳定性。 第二种方法不需要求解微分方程的解，而能够提供系统稳定性的信息。 对于非线性、时变、多输入多输出系统来说，第二种方法特别重要。李亚普诺夫第二法又称为直接法。 这种方法是基于一种广义能量函数及其随时间变化的特性来研究系统稳定性的。以下通过一个例子来说明。 例4-1 一个弹簧－质量－阻尼器系统，如下图示。系统的运动由如下微分方程描述。 令 （1） 选取状态变量 则系统的状态方程为 （2） 在任意时刻，系统的总能量 （3） 显然，当 时 ， 而当 时 而总能量随时间的变化率为 可见，只有在 时， 。在其他各处均有 ，这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。 Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。 平衡状态—— 一般地，系统状态方程为 ，其初始状态为 。系统的状态轨线 是随时间而变化的。当且仅当 （当 t≥t0 ）则称 为系统平衡状态。 如果不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 ， 因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。 4.2 李亚普诺夫意义下稳定性的定义 4.2.1 稳定的定义 则 非线性时变系统 （4） （6） （5） ≤ 定义 对于任意给定的实数 ，都对应存在实数 ，使 满足 的任意初始状态 出发的轨线 有 ≤ε （对所有 t ≥t0） 成立，则称