现代控制理论基础第3版王孝武第6章节(2410KB).ppt

3）将 代入 的表达式中 本例中 4）将 代入状态方程，可解得 由此得 最优性能指标 6.5 线性状态调节器 6.5.1 引言 线性系统以二次型为性能指标的最优控制问题，已经在国内、外的工程实践中得到应用。原因如下： 1）被控对象是线性的，最优控制问题容易求得解析解。 2）线性系统最优控制的结果，可以在小信号条件下，应用于非线性系统。 3）最优控制器是线性的，易于实现。 4）线性、二次型性能指标的最优控制问题除了得到最优解外，还可以导出经典控制理论的一些特性。 6.5.2 有限时间状态调节器 线性时变系统的状态方程为 （87） （88） （89） 寻找一个最优控制 ，使 为极小。 其中，x 为n 维状态向量；u 为r 维控制向量，且u 不受限制。 其中，F为 对称半正定常数阵； 为 对称半正定时变阵。 为 对称正定时变阵。 求解这个最优控制问题，可以用极小值原理，也可以用动态规划法。这里用极小值原理来求解。 1）哈密顿函数为 （90） 2）伴随方程为 （91） （92） 3）控制方程为 （93） 故J 取极小值 4）将 代入状态方程得 （94） 初始状态为 （95） 将（90）式至（95）式联立，即可即可求解这个最优控制问题。 另外一种求解方式： 设 （96） 其中， 为待定的 时变阵 （97） （96）式对t 求导，并且将（94）式代入 （91）式可改写成 （98） 比较（97）和（98），可以得到 （99） （100） （99）式称为Riccati微分方程。其边界条件为 得到 （101） 状态反馈的闭环方程为 （102） 其中 （103） 两点说明： 1）由于矩阵黎卡提微分方程的解为对称 因此有 个独立的非线性标量微分方程。 2）最优性能指标为 （104） （证明请见教材228页） 例6-6 系统状态方程为 求最优控制 ，使性能指标 取极小值。 解 矩阵的黎卡提方程为 求解上面的微分方程，有 其中 即 最优控制为 由 最优轨线为 6.5.3 无限时间状态调节器 线性时变系统 寻找一个最优控制 ，使J 取极小值 （105） 这里产生一个问题： 时，性能指标是否收敛？ 例如 寻找最优控制 ，使J 取极小值 （106） 根据分析，显然当 时，J 取极小值。 但是 是不能控的状态分量，而且是不稳定的。导致 结论：该问题不存在有意义的解。 如果线性时变系统（105）是能控的，无限时间状态调节器问题一定有解，并且可以通过有限时间状态调节器的解，取 来获得。 其结果为 最优控制 （107） （108） （109） 最优性能指标 （110） 可见，无限时间状态调节器与有限时间最优调节器类似，均可以用状态负反馈构成状态闭环控制。但是反馈增益矩阵是时变的，给工程实践带来不便。 卡尔曼研究了矩阵黎卡提微分方程解的各种性质，得出以下结果： 线性定常系统 （111） （112） （113） 最优控制为 （114） （115） 常数阵 满足如下黎卡提矩阵代数方程 （114）式代入（111）式，得 （116） 最优轨线可以由（116）式和（114）式求出。 最优性能指标 （117） 当这个无限时间状态调节器满足以下条件时，状态反馈增益矩阵才为常数矩阵： 1）系统为线性定常系统； 2）系统为能控； 3）末值时刻 ； 4） J 中不含末值项，即 F = 0 ； 5） Q ，R 为正定阵。 例 6-7 线性定常系统的状态方程为 ≥0 求最优控制 ，使 J 取极小值。 解 检验系统能控性 能控。 设 代入（115）式黎卡提方程，解得 当 时， ；当 时， 。 6.5.4 定常情况下状态调节器的稳定性 用李亚普诺夫第二法来研究其稳定性 假设 正定，所以 正定。 取Lyapunov函数 （118） 这里不加证明，给出结论： 使 为正定对称阵的充要条件是： 能观测。其中D 是任意一个使 成立的矩阵。 将（116）式代入（119）式，并且考虑（115）式，有 （120）