现代控制理论基础第四章节3课件(403KB).pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * 第三节 线性系统的BIBO稳定性 在工程上，有时使用BIBO稳定性比较方便，因此这里做一简单介绍，以便在工程应用时有较大的选择余地。 4.3.1数学准备 ①线性 设H为线性算子，当且仅当对于任何输入u1和u2，以及任何实数a1和a2，系统在零初始状态下的响应为 H(a1u1＋a2u2)＝a1Hu1＋ a2 Hu2 (4-3-1) 时，称系统为线性的，否则该系统为非线性的。 若有一个输入和一个输出的系统是线性的，则 式中，g(t, τ)是系统的冲激响应。对上式作Laplace变换，有 y(s)＝G(s)u(s) (4-3-3) 第三节 线性系统的BIBO稳定性 ②因果性 系统t时刻输出不取决于t以后的输入，而仅与t以前输入有关，则称系统具有因果性。考虑到因果性，式(4-3-2)可写成 ③松弛性 一个系统在t0时刻是松弛的，则必要且只要输出 y(t0, ∞) 仅由u(t0, ∞)唯一确定。 由 若y(t0)＝0，则有 第三节 线性系统的BIBO稳定性 即一个在t0时刻松弛的系统其输入-输出关系为 y(t0, ∞)＝H u(t0, ∞) (4-3-6) 对于线性系统，系统在t0时刻松弛的条件为 y(t0)＝Hu(－∞, t0)＝0 (4-3-7) 故具有因果性、松弛性、线性系统的输入-输出关系为 ④时不变性 设Qa为移位算子（移位距离为a），则时不变性的定义如下： 一个松弛系统是时不变的，则必要且只要 HQau＝QaHu (4-3-9) 成立（u为任意输入，a为任意实数）。否则，系统称为时变系统。上式也可以写成 HQau＝Qay (4-3-10) 即输入移动a秒后，所得输出波形不变，仅在时间上移动a秒。 第三节 线性系统的BIBO稳定性 对于线性时不变系统，其冲激响应仅取决于t和τ之差，即 g(t, τ)＝g(t－τ) (4-3-11) 式中， t和τ均为任意值。所以对满足线性、因果性、松弛性、时不变性的系统，其输入-输出关系为 不失一般性，设t0 ＝0，则 第三节 线性系统的BIBO稳定性 4.3.2 线性时变系统 先考虑单变量系统。对于线性、松弛、因果系统的输入输出描述为 其中g(t, τ)是系统的冲激响应。 从输入-输出端对系统定性研究时，所考虑的是：若输入具有某种性质，在什么条件下输出亦具有该性质？例如，若输入是有界的，即对所有(－∞, ∞)中的t，有 |u(t)|≤k1∞ (4-3-15) 则系统在什么条件下存在常数k2，使对于(－∞, ∞)中的t，输出y满足 |y(t)|≤k2∞ 前已指出，仅当系统松弛时，才使用输入-输出描述，因此，输入-输出描述的稳定性仅适用于松弛系统。 定义4-3-1：一个松弛系统是BIBO（有界输入-有界输出）稳定的，则必要且只要对于任何有界输入，其输出是有界的。 第三节 线性系统的BIBO稳定性 应该指出，在松弛性假定下，是BIBO稳定的系统，而在其非松弛时，可能不再是BIBO稳定。以此可说明“松弛”条件的重要性。 定理4-3-1：由 描述的系统是BIBO稳定的，则必要且只要存在一个有限数，使对于(－∞, ∞)中的任意t，有 证明：充分性 设u(t)为任意输入，且对于所有(－∞, ∞)中的t，有|u(t)|≤k1，则对于所有t，有 第三节 线性系统的BIBO稳定性 必要性 用反证法。设系统(4-3-14)BIBO稳定，但式(4-3-16)不成立，即对任意正数k0，总tk有存在，使得 取有界控制输入u(t)＝1，因 上式说明有界输入下得到y(t)的是无界的，这一矛盾表明必要性成立。 证毕。 上述结论可推广到多变量系统，设具有l个输入m个输出的系统由下式描述 其中u是l×1输入向量，是m×1输出向量，g(t,τ)是系统的m×l冲激响应矩阵。 第三节 线性系统的BIBO稳定性 gij(t, τ)是第j个输入和第i个输出之间的冲激响应。对于多变量系统，有 定理4-3-2：由 描述的松弛多变量系统是BIBO稳定的，则必要且只