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控制科学与工程系 控制科学与工程系 控制科学与工程系 现代控制理论 第二章 线性定常系统状态方程的解 * 控制科学与工程系 * 2.1 线性定常连续系统状态方程的解 线性定常连续系统的状态方程的标准形式 * 控制科学与工程系 * 当u(t)=0时，有 当u(t) ≠ 0时，有 自由运动 受迫运动 1．线性连续系统齐次状态方程的解 (1) 幂级数法 * 控制科学与工程系 * 纯量（或称标量）齐次微分方程为 与纯量微分方程的解法相似 ，求解齐次状态方程。 设 * 控制科学与工程系 * b0，…，bk都是n维向量 比较系数 令t=0 * 控制科学与工程系 * 定义 于是 矩阵指数（函数） 状态转移矩阵 (2) 拉普拉斯变换法－齐次状态方程的解 * 控制科学与工程系 * 取拉氏变换 取拉氏反变换 例 2. 状态转移矩阵的运算性质 * 控制科学与工程系 * (1) (2) (3) (4) , * 控制科学与工程系 * (5) (6) 两种常见的状态转移矩阵 * 控制科学与工程系 * 状态转移矩阵例题 3.连续系统非齐次状态方程解 * 控制科学与工程系 * (1) 积分法 因为 所以有 * 控制科学与工程系 * 即 对初始输入作用的响应 零状态响应 (2) 拉氏变换法 sX(s)=AX(s)+x(0)+BU(s) 则 (sI-A)X(s)=x(0)+BU(s) X(s) = (sI-A)-1x(0)+ (sI-A)-1 BU(s) x(t)=￡-1[(sI-A)-1]x(0) +￡-1[(sI-A)-1BU(s)] * 控制科学与工程系 * 非齐次状态方程解例题 信号采样—离散系统 * 控制科学与工程系 * 采样或采样过程，就是抽取连续信号在离散时间瞬时值的序列过程，有时也称为离散化过程。 在计算机控制系统中，采样过程是不可缺少的。对时间和幅值均连续的模拟信号经过采样得到在时间上离散、幅值连续的脉冲序列，由A/D转换器整量化后才能送入计算机进行处理和运算。 完成采样操作的装置称为采样器或采样开关。 理想采样开关的采样过程 z变换的定义 * 控制科学与工程系 * 在拉氏变换中引入新复变量 从而有 F(z)称为离散时间函数f*(z)的z变换。z变换实际是一个无穷级数形式，它必须是收敛的。就是说，极限 存在时， f*(z)的z变换才存在。 z变换的性质和定理 * 控制科学与工程系 * 线性性质 求和定理 平移定理 初值定理 脉冲传递函数的定义 * 控制科学与工程系 * 线性离散系统的脉冲传递函数定义为零初始条件下，系统或环节的输出采样函数z变换和输入采样函数z变换之比。设开环离散系统如下图所示，系统输入信号为r(t)，采样后r*(t)的z变换函数为R(z)。经虚设的采样开关后得到输出采样函数y*(t)及其z变换Y(z)。则根据定义得线性定常离散系统脉冲传递函数 开环离散系统 2.2 线性离散系统状态方程及其解* 1．线性离散状态方程的建立 * 控制科学与工程系 * （1）由差分方程建立离散系统的状态空间表达式 * 控制科学与工程系 * 线性定常离散系统一般表达式： * 控制科学与工程系 * 线性定常离散系统状态变量图 例（差分方程建立离散系统的状态空间表达式） (2)由脉冲传递函数建立线性定常离散系统的状态空间表达式 * 控制科学与工程系 * * 控制科学与工程系 * 根据Z变换位移定理，在零初始条件下，有 (3)由连续系统的动态方程经过离散化求取离散系统的动态方程 * 控制科学与工程系 * 令t0=kT，则 令t=(k+1)T，则 在 区间内， ,于是其解为 解为 记 记 示例 2．线性定常离散状态方程的解 * 控制科学与工程系 * (1) 递推法 … * 控制科学与工程系 * (2) Z变换法 对上式两端取Z变换，可得 End of Chapter 2 * 控制科学与工程系 * 控制科学与工程系 控制科学与工程系 控制科学与工程系