第3章节参数估计课件1章节(774KB).pptVIP

2018-3-29 1 第三章 参数估计 2018-3-29 2/74 在实际问题中，总体X的参数是未知的。 例如灯泡厂生产的灯泡，其寿命 ，但是由于生产过程中各种随机因素的影响，生产出来的灯泡的寿命是不一致的，为了保证灯泡的质量，必须进行抽样检查，根据样本所提供的信息，对总体X的分布做出估计，也即对参数 做出估计。这类问题称为参数估计问题。 §3.1 参数估计概述 2018-3-29 3/74 参数估计的形式分为两类： 点估计。由估计量的观察值作为未知参数的估计值，这种作法称为点估计或定值估计。 区间估计。估计出未知参数的一个所在范围，并指出参数被包含在该范围的概率，这种方法称为区间估计。 2018-3-29 4/74 §3.2 参数的点估计 点估计方法很多，本节介绍最常见的矩估计法和极大似然法。 2018-3-29 5/74 一、矩估计法 由大数定律可知，样本分布函数依概率收敛于总体分布函数，样本均值依概率收敛于总体均值，我们自然会想到，是否能用有关的样本矩来估计总体分布的相应矩呢？统计实践表明，这个方法是可取的，这种用样本矩来估计总体分布参数的方法称为矩估计法，通常，用样本均值 来估计总体的均值 ，用样本方差S2来估计总体的方差 。 2018-3-29 6/74 【例3.1】某班统计学考试成绩服从正态分布。随机抽取6人的成绩依次为：70，78，75，85，80，92。试用矩估计法对总体的参数作出估计。 2018-3-29 7/74 二、极大似然估计法 先考察两个简单的例子。 【例3.2】某同学与一位猎人一起外出打猎，见一只野鸡在前方窜过，只听一声枪响，野鸡被他们两人中某一位一枪命中，试推测这一发命中的子弹是谁打的。 2018-3-29 8/74 【例3.3】假定在一个箱子里放着黑、白两种球共4只，且知道这两种球的数目之比为1∶3，但不知道究竟哪一种颜色的球多。现在采用有放回抽样的方法，从箱子中随机地抽取三个球，观察到球的颜色为黑、白、黑，你会对箱子中的黑球数作出什么推断呢？ 2018-3-29 9/74 现在我们来阐明极大似然法的基本原理。 设总体X的概率密度为 ，它只含一个未知参数（若X是离散型， 表示概率 ）， 是取自X的样本， 为样本观察值。 的联合密度等于 显然,对于样本的一组观察值 ，它是的函数，并称为似然函数。记作 2018-3-29 10/74 定义3.1 设总体的概率密度为 ，其中 是未知参数， 为X的一组样本观察值。若能求得观察值的某个函数 ，使得似然函数取极大值,即 ，则称 为 的一个极大似然估计值，其相应的统计 量 ，称为参数 的极大似然估计量。 2018-3-29 11/74 由定义3.1可知，求总体参数 的极大似然估计值 的问题，就是求似然函数 的极大值问题。 在 可微时，要使 取极大值 必须满足 （3.1） 从上式可解得 的极大似然估计值。 2018-3-29 12/74 由于 与 有相同的极值点，而且，求 的极值点更为容易，所以常用下式 （3.2） 来代替（3.1）式。方程（3.1）或（3.2）都称为似然方程。 2018-3-29 13/74 解：设 是来自X的样本，则 【例3.4】设总体X服从参数为  的泊松分布， 求参数  的极大似然估计量。 2018-3-29 14/74 令 ∴ 的极大似然估计量为 。 其中 为样本均值。 2018-3-29 15/74 三、估计量的优良标准 1．无偏性 如果样本统计量的期望值等于该统计量所估计的总体参数，则这个估计量叫做无偏估计量。 若以 代表被估计的总体参数， 代表 的无偏估计量，则用数学式表示为： 2018-3-29 16/74 2．一致性 当样本容量n增大时，如果估计量越来越接近总体参数的真值时，就称这个估计量为一致估计量。 2018-3-29 17/74 3．有效性 如果两个估