文科高等数学第十讲2课件(781KB).ppt

解 记 解 （1）由全概率公式 （2）由贝叶斯公式 liushuhuan@163.com 数学教研室：刘淑环 * 《文科高等数学》 liushuhuan@163.com 第十讲(2)----------概率统计初步(2) 数学教研室：刘淑环 概率统计初步(2) 一、概率概述 二、有趣的概率问题 三、随机事件关系及运算规律 四、随机事件概率模型 偶然中蕴含必然的问题 (五)随机事件乘法公式 (六)二项概型 (七)全概公式和贝叶斯公式 四、随机事件概率模型 (七)全概公式和贝叶斯公式 例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率. 1 2 3 　　　 解：记Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} 且A1B、A2B、A3B两两互斥 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生， P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B) 运用加法公式得 1 2 3 即 B= A1B+A2B+A3B， 将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式. 对求和中的每一项 运用乘法公式得 P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B) 代入数据计算得：P(B)=8/15 设A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且P(Ai)0， i =1,2,…,n, 另有一事件B, 它总是与A1, A2, … ,An之一同时发生，则 全概率公式 称满足上述条件的A1,A2,…,An为完备事件组. 在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算. 全概率公式的来由, 由上式不难看出: “全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和. 它的理论和实用意义在于: 某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是 每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式. P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai) 从另一个角度去理解 由此可以形象地把全概率公式看成为 “由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系 . A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 B 诸Ai是原因 B是结果 由原因推结果 该球取自哪号箱的可能性最大? “已知结果求原因”问题 某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率. 1 2 3 1红4白 或者问: 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} 所求为P(A1|B) 运用全概率公式 计算P(B) 将得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率. 贝叶斯公式 　 设A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且P(Ai)0，i=1,2,…,n, 另有一事件B，它总是与A1,A2,…,An 之一同时发生，则 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因. 例2 由医学统计数据分析可知，人群中患由某种病菌引起的疾病占总人数的0.5%．一种血液化验以95%的概率将患有此疾病的人检查出呈阳性，但也以1% 的概率误将不患此疾病的人检验出呈阳性．现设某人检查出呈阳性反应，问他确患有此疾病的概率是多少？ 医学检查问题 解 且已知 由贝叶斯公式可得 记 2. 检出阳性是否一定患有疾病? 这种检查对于诊断一个人是否患有疾病有无意义？ 3. 检出阳性后进行复查，仍然为阳性， 问患有疾病的概率有多大? (1)如果不做检查,随机抽查一人,他患疾病的概率为0.5%。 (2)如果进行检查，根据阳性反应的检查结果，此人患疾病的概率为32.3%。 结论：从0. 5%增加到32.3%,将近增加约60倍. 这种检查对于诊断一个人是否患有疾病有无意义？ 这种检查对于诊断一个人是否患有疾病有很大意义。 试验结果为阳性,此人确患疾病的概率为 P(C｜A)=32.3% 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你患有疾病，这种可能性只有32.