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《文科高等数学》 liushuhuan@163.com 第十一讲(1) -------随机变量及分布 数学教研室：刘淑环 随机变量及分布 一、随机变量概念 二、离散型随机变量及概率分布 三、连续型随机变量及概率密度 四、随机变量分布函数 一、随机变量概念 事件及 事件概率 随机变量及其 取值概率 随机变量分类 离散型随机变量 连续型随机变量 所有取值可以逐个 一一列举 全部可能取值不仅 无穷多，而且还不能 一一列举，而是充满 一个区间. 一元随机变量 一元离散型随机变量 一元连续型随机变量 （1）随机变量取值的概率 （2）随机变量取值在某区间的概率 随机变量分类 其中 (k=1,2, …) 满足： k=1,2, … （1） （2） 用这两条性质判断 一个函数是否是 概率函数 二、离散型随机变量概率分布 定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称 为离散型随机变量X的概率函数或分布律，也称概率分布. k=1,2,… … 从中任取3 个球 取到的白球数X是一个随机变量 X可能取的值是0,1,2 取每个值的概率为 例1 且 （1）列表法： （2）图示法 （3）公式法 任取3 球 X为取到的白球数 X可能取的值 是0,1,2 0.1 0.3 0.6 k PK 0 1 2 概率分布表示方法 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 通过给出“概率密度函数”的方式来加以描述. 三、连续型随机变量 ,使得对任意 , 有 对于随机变量 X ,如果存在非负可积函数f(x) , x 则称 X为连续型随机变量,称 f(x)为 X 的概率 密度函数，简称为概率密度或密度. 连续型随机变量概率密度 概率密度函数的性质 这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某随机 变量X的概率密度函数的 充要条件. f (x) x o 面积为1 密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度. f (x) x o 概率密度与概率的区别 对连续型 随机变量 X,有 离散型和连续型随机变量区别联系 问题：能不能对它们给出一种统一的描述方法？ 这就是分布函数. x P(x) o 分别用概率函数和密度函数描述 . f (x) x o 设 X 是一个随机变量，称 为 X 的分布函数. 记作 X ～ F(x) 或 FX(x). 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 的概率. 四、分布函数 由定义，对任意实数 x1x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 ] 的概率为： P{ x1X x2 } = P{ X x2 } - P{ X x1 } = F(x2)-F(x1) 设离散型随机变量X 的概率函数是 P{ X=xk } = pk , k =1,2,3,… 由于F(x) 是 X 取 的诸值 xk 的概率之和， 故又称 F(x) 为累积概率函数. 则 F(x) = P(X x) = 离散型随机变量分布函数 即分布函数是密度函数的变上限的定积分. 若 X 是连续型随机变量， X ～ f (x) , 则 由上式可得，在 f (x)的连续点， 连续型随机变量分布函数 liushuhuan@163.com 数学教研室：刘淑环 * * * * * *