文科高等数学第十一讲2课件(913KB).ppt

保险公司的盈利分析 例 某保险公司有3000个同龄人参加人寿保险。每人在每年的头一天交付保险费10元，已知这一年龄人的年死亡率为0.2%，死亡时其家属可向保险公司领取1500元。求：（1）保险公司一年中获利不少于15000元的概率；（2）保险公司亏本的概率。 求解分析 随机变量X表示3000个参加保险的人在一年中的死亡人数。则 （1）保险公司一年获利不少于15000元，即有 正态近似 即保险公司一年获利不少于15000元的概率为94.14%。 （2）保险公司亏本，说明 即保险公司亏本的概率仅为0.71%。 这是一个概率很小的事件， 故可认为保险公司基本不会亏本。 求解分析 例 某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦. 问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产? 供电问题 用X表示在某时刻工作着的车床数， 依题意， X~B(200,0.6), 现在的问题是： P(X≤N)≥0.999 的最小的N. 求满足 设需N台车床工作， （由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台工作所需电力即N千瓦.） 问题分析 由德莫佛-拉普拉斯极限定理 近似N(0,1), 于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N) 这里 np=120, np(1-p)=48 由3σ准则， 此项为0。 查正态分布函数表得 由 ≥0.999， 从中解得N≥141.5, 即所求N=142. 也就是说, 应供应142 千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产. ≥ 3.1, 故 liushuhuan@163.com 数学教研室：刘淑环 《文科高等数学》 liushuhuan@163.com 第十一讲(2) -------常见随机变量 数学教研室：刘淑环 几个常见的随机变量 一、二项分布 二、泊松分布 三、指数分布 四、正态分布 一、二项概型 独立重复试验：每次试验的结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果。 （1）试验可以独立重复进行n 次； （2）每次试验只有两个可能结果A和非 A； （3）事件A在每次试验中出现的概率都是P(A)=P 满足上述三个条件的试验称为贝努利试验概型或称为二项概型。 二项概型 设n 次贝努利试验中事件A出现 的次数为X，则： 随机变量X服从参数为n和p的二项分布 二项分布的概率分布图 n=13，p=0.5 Pk n 0 当试验次数n很大时，计算二项概率变得很麻烦，要计算 ————泊松分布 或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法. 二项分布的近似计算 二、泊松分布 设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为： 其中 0 是常数,则称 X 服从参数为 的 泊松分布,记作X~P( ). 泊松分布的图形特点 有关概率计算可查表 二项分布的泊松近似 当 n很大，p 很小时，有以下近似式： 其中 指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.人的记忆力等 若 随机变量 X具有概率密度 三、指数分布 则称 X 服从参数为 的指数分布. 常简记为 X~E( ) . 四、正态分布 若随机变量 X的概率密度为 记作 f (x)所确定的曲线叫作正态曲线. 其中 和 都是常数， 任意， 0， 则称X服从参数为 和 的正态分布. 数学期望 方差 正态分布简介 正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布. 德莫佛 德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面. 正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”. 正态分布 的图形特点 决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度. 正态分布 的图形特点 f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大值: 当x→ ?∞时，f(x) → 0, 这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。 正态分布概率密度曲线特点 设X~ , X的分布函数是 正态分布分布函数图形特点 正态分布由两个参数μ和σ唯一确定， 一个是数学期望，一个是方差。当μ和σ不同时，是不同的正态分布。 标准正态分布 的正态分布称为标准正态分布. 标准正态分布 标准正态分布