文科高等数学第四讲1课件(1633KB).ppt

定理 讨论 在 点是否可导？ 不可导 连续可导关系 五、可导与连续的关系 反之不一定成立. 可导一定连续，连续不一定可导. 定理 以下两种都是存在“尖点”的情况: 定理 函数可导必连续. 证明 两边取极限有： 例10 解 六、高阶导数的定义 定义 例如 定义 小结 1. 导数的实质: 增量比的极限; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 5. 求导数的方法: 由定义求导数. 语句法 6. 判断可导性 不连续,一定不可导. 连续 直接用定义; 看左右导数是否存在且相等. 七、用MATLAB语句求导 syms x h; limit((f(x + h) - f(x))/h, h, 0) The results are ans = f’(x) 求导数的语句： 求变化率的极限: syms x y=f(x); diff(y) 用MATLAB语句求导 syms x h; limit((sin(x + h) - sin(x))/h, h, 0) The results are ans = cos(x) syms x diff(sin(x)) ans =cos(x) 语句法求基本初等函数导数 %根号函数求导 syms x diff(sqrt(x)) ans = 1/(2*x^(1/2)) %幂函数求导 syms x a diff(x^a) ans =a*x^(a - 1) %对数函数求导 syms x diff(log(x)) ans = 1/x %指数函数求导 syms x diff(exp(x)) ans = exp(x) %以10为底的指数 syms x diff(10^x) ans = 10^x*log(10) %反比例函数求导 syms x diff(x^(-1)) ans = -1/x^2 %余弦函数求导 syms x diff(cos(x)) ans = -sin(x) %正切函数求导 syms x diff(tan(x)) ans = tan(x)^2 + 1 %正割函数求导 syms x diff(sec(x)) ans = sin(x)/cos(x)^2 %余切函数求导 syms x diff(cot(x)) ans = - cot(x)^2 - 1 %余割函数求导 syms x diff(csc(x)) ans = -cos(x)/sin(x)^2 %正弦函数求导 syms x diff(sin(x)) ans =cos(x) 语句法求基本初等函数导数 %函数f(x)的n阶导 syms x diff(f(x),n) %正弦函数的2阶导 syms x diff(sin(x),2) ans = -sin(x) %正弦函数的10阶导 syms x diff(sin(x),10) ans = -sin(x) 语句法求高阶导数 liushuhuan@163.com 数学教研室：刘淑环 《文科高等数学》 liushuhuan@163.com 第四讲(1) ------导数与微分 数学教研室：刘淑环 —导数与微分— 变量变化速度与局部改变量 估值问题——导数与微分 极限应用另一例 主讲内容 二、导数的概念与几何意义 四、左导数和右导数 六、高阶导数的定义 一、抽象导数概念的现实原型 三、由定义求导数——基本求导公式 五、可导与连续的关系 七、用MATLAB语句求导（课外自学） 一、抽象导数概念的现实原型 x y o y = f (x) ?x ?y x0 局部变化率 瞬时速度是位移函数关于时间变化率的极限. 局部变化率 2.自由落体运动的瞬时速度问题 1.切线问题 归纳原型一与原型二 形式相同， 抽象表示 函数对自变量的导数 路程对时间的导数 变中有不变 二、导数的概念与几何意义 具体问题抽象化 注意： 是瞬时变化率 是平均变化率 导数是平均 变化率的极限 （1） （2） 是表示导数的一个整体符号. （3） 点导数是因变量在这点的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度. 导数的几何意义 C 三、由定义求导数 步骤: (1) 求增量 (2) 算比值 (3) 求极限 算比值 常数的导数等于零. 求增量 求极限 (2) 算比值 (3) 求极限 (1) 求增量 求增量 算比值 求极限 解 同样方法推出： 例如, 可以推广到幂函数 归纳类推 例5 解 所求切线方程为 解 cosx是连续函数 例7 解 例8 解 求导基本公式： 解 例9 四、左导数和右导数 右导数： 左导数：