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同济大学第六版高等数学课后答案全集 高等数学第六版上册课后习题答案 第一章 习题1?1 1? 设A?(??? ?5)?(5? ??)? B?[?10? 3)? 写出A?B? A?B? A\B及A\(A\B)的表达式? 解 A?B?(??? 3)?(5? ??)? A?B?[?10? ?5)? A\B?(??? ?10)?(5? ??)? A\(A\B)?[?10? ?5)? 2? 设A、B是任意两个集合? 证明对偶律? (A?B)C?AC ?BC ? 证明 因为 x?(A?B)C?x?A?B? x?A或x?B? x?AC或x?BC ? x?AC ?BC? 所以 (A?B)C?AC ?BC ? 3? 设映射f ? X ?Y? A?X? B?X ? 证明 (1)f(A?B)?f(A)?f(B)? (2)f(A?B)?f(A)?f(B)? 证明 因为 y?f(A?B)??x?A?B? 使f(x)?y ?(因为x?A或x?B) y?f(A)或y?f(B) ? y?f(A)?f(B)? 所以 f(A?B)?f(A)?f(B)? (2)因为 y?f(A?B)??x?A?B? 使f(x)?y?(因为x?A且x?B) y?f(A)且y?f(B)? y? f(A)?f(B)? 所以 f(A?B)?f(A)?f(B)? 4? 设映射f ? X?Y? 若存在一个映射g? Y?X? 使g?f?IX? f?g?IY? 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射? 即对于每一个x?X? 有IX x?x? 对于每一个y?Y? 有IY y?y? 证明? f是双射? 且g是f的逆映射? g?f ?1? 证明 因为对于任意的y?Y? 有x?g(y)?X? 且f(x)?f[g(y)]?Iy y?y? 即Y中任意元 素都是X中某元素的像? 所以f为X到Y的满射? 又因为对于任意的x1?x2? 必有f(x1)?f(x2)? 否则若f(x1)?f(x2)?g[ f(x1)]?g[f(x2)] ? x1?x2? 因此f既是单射? 又是满射? 即f是双射? 对于映射g? Y?X? 因为对每个y?Y? 有g(y)?x?X? 且满足f(x)?f[g(y)]?Iy y?y? 按逆映射的定义? g是f的逆映射? 5? 设映射f ? X?Y? A?X ? 证明? (1)f ?1(f(A))?A? (2)当f是单射时? 有f ?1(f(A))?A ? 证明 (1)因为x?A ? f(x)?y?f(A) ? f ?1(y)?x?f ?1(f(A))? 所以 f ?1(f(A))?A? (2)由(1)知f ?1(f(A))?A? 另一方面? 对于任意的x?f ?1(f(A))?存在y?f(A)? 使f ?1(y)?x?f(x)?y ? 因为y?f(A)且f是单射? 所以x?A? 这就证明了f ?1(f(A))?A? 因此f ?1(f(A))?A ? 6? 求下列函数的自然定义域? (1)y?x?2? 解 由3x?2?0得x??2? 函数的定义域为[?2, ??)? 33 (2)y?1 2? 1?x 解 由1?x2?0得x??1? 函数的定义域为(??? ?1)?(?1? 1)?(1? ??)? (3)y?1??x2? x 解 由x?0且1?x2?0得函数的定义域D?[?1? 0)?(0? 1]? (4)y?1? 4?x2 解 由4?x2?0得 |x|?2? 函数的定义域为(?2? 2)? (5)y?sinx? 解 由x?0得函数的定义D?[0? ??)? (6) y?tan(x?1)? 解 由x?1??(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)得函数的定义域为x?k????1 (k?0? ?1? ?2? ? ? 22 ?)? (7) y?arcsin(x?3)? 解 由|x?3|?1得函数的定义域D?[2? 4]? (8)y??x?arctan1? x 解 由3?x?0且x?0得函数的定义域D?(??? 0)?(0? 3)? (9) y?ln(x?1)? 解 由x?1?0得函数的定义域D?(?1? ??)? (10)y?ex? 解 由x?0得函数的定义域D?(??? 0)?(0? ??)? 7? 下列各题中? 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)?lg x2? g(x)?2lg x? (2) f(x)?x? g(x)?x2? (3)f(x)?x4?x3?g(x)?xx?1? (4)f(x)?1? g(x)?sec2x?tan2x ? 解 (1)不同? 因为定义域不同? (2)不同? 因为对应法则不同? x?0时? g(x)??x? (3)相同? 因为定义域、对应法则均相相同? (4)不同? 因为定义域不同? ?|sinx|