教案 高教版《数学》（基础模块）——《7.1 平面向量的概念及线性运算》精品.doc

7、1 平面向量的概念及线性运算 【教学目标】 知识目标： 1、理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量。 2、掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则。　　3、了解向量的线性运算性质及其几何意义。 能力目标： 通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力。 【教学重点】 向量的线性运算。 【教学难点】 已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件。 【教学内容】 从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念。 向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向。教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向。数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的。 向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的。即a-b=a+(-b)，它可以通过几何作图的方法得到，即a-b可表示为从向量b 的终点指向向量a的终点的向量。作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点。 实数乘以非零向量a，是数乘运算，其结果记作，它是一个向量，其方向与向量a相同，其模为的倍。由此得到。对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a、b”与“ ”等条件。 【课时安排】 2课时。 【教学过程】 一、导入 如图7－图7－A为起点，B为终点的向量记作。也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作。 图7－ 的模依次记作，。 3、零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行。零向量。由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。 4、单位向量：模为1个单位长度的向量，向量为单位向量。5、平行向量(共线向量) 方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。　　数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。 6、相等向量　　长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为。大小相等，方向相同。 例1、一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移。 解 位移是向量。虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不同，所以两架飞机的位移不相同。两架飞机位移的有向线段表示分别为图7-3中的有向线段a 与b。 图7-3 思考 说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格为1)。 图7?4中的平行向量与，方向相同，模相等；平行向量与，方向相反，模相等。 我们所研究的向量只有大小与方向两个要素。当向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a = b 。也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量。 与非零向量的模相等，且方向相反的向量叫做向量的负向量，记作。 规定：零向量的负向量仍为零向量。 显然，在图7－4中，= ，= －。 例2、在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点。 （1）找出与向量相等的向量； （2）找出向量的负向量； （3）找出与向量平行的向量。 分析 要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反。 解 由平行四边形的性质，得 （1）=； （2）=,； （3）//,//，//。 练习 1、如图，ABC中，D、E、F分别是三边的中点，试写出 （1）与相等的向量；（2）与共线的向量． 2、如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出 （1）与相等的向量； （2）的负向量； （3）与共线的向量。 三、向量的运算 王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500 m到达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行走200 m到达学校（C处）（如图7－6）。王涛同学这两次位移的总效果是从家（A处）到达了学校（C处）。 1、向量的加法 位移叫做位移与位移的和，记作=+。 一般地，设向量a与向量b不共线，