教案 高教版《数学》（基础模块）——《7.3 平面向量的内积》精品.doc

7、3 平面向量的内积 【教学目标】 知识目标： 1、理解平面向量内积的概念及其几何意义； 2、理解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础； 3、掌握向量内积的运算律，能用向量的内积解简单平面几何问题。 能力目标： 通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力。 【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式。 【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角。 【教学设计】 首先从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念。需要强调力与位移都是向量，而功是数量。因此，向量的内积又叫做数量积。 在讲述向量内积时要注意： 1、向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积，其符号是由夹角决定； 2、向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量。 内积的性质： 1、当a,b＝0时，a·b＝|a||b|；当a,b＝时，a·b＝－|a||b|．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数。 2、|a|＝显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础。 3、cosa,b＝，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础。 4、“a·b＝0ab”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础。 【课时安排】 2课时。 【教学过程】 一、导入 如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？ 二、数量积的定义 我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积。如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则 i + y j ， 即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即 W＝｜F｜cos·｜s｜＝100×·10＝500 （J） 图7－22 这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积。 如图7－23，设有两个非零向量a, b，作＝a, ＝b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角，记作a,b。 两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即 a·b＝｜a||b|cosa,b 　　　　　　　 (7.10) 上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s. 由内积的定义可知 a·0＝0, 0·a＝0。 由内积的定义可以得到下面几个重要结果： 当a,b＝0时，a·b＝|a||b|；当a,b＝时，a·b＝?|a||b|； cosa,b＝； 当b＝a时，有a,a＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝； 当时，ab，因此，a·b＝因此对非零向量a，b，有 a·b＝0ab。 三、向量内积的运算律 向量的内积满足下面的运算律： a·b＝b·a。 ()·b＝(a·b)＝a·(b)。 (a＋b)·c＝a·c＋b·c。 注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即 a·(b·c)≠（a·b）·c。 例1、已知|a|＝3,|b|＝2, a,b＝,求a·b。 解 a·b＝|a||b| cosa,b ＝3×2×cos＝3。 例2、已知|a|＝|b|＝,a·b＝,求a,b。 解 cosa,b＝＝＝?。 由于 0≤a,b≤， 所以 a,b＝。 练习 1、已知|a|＝7，|b|＝4，a和b的夹角为，求a·b。 2、已知a·a＝9,求|a|。 3、已知|a|＝2,|b|＝3, a,b＝，求(2a＋b)·b。 四、扩展 设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j分别为x轴，y轴上的单位向量，由于i⊥j，故i·j ＝0，又| i |＝|j|＝1，所以 a·b＝(x1 i＋y1j)· (x2 i＋y2j) ＝ x1 x2 i ?i＋ x1 y2 i ?j＋ x2 y1 i ?j ＋ y1 y2 j ?j ＝ x1 x2 |j|2＋ y1 y2 |j|2 ＝ x1 x2＋ y1 y2。 这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即 a·b＝ x1 x2＋ y1 y2　　 　 (7.11) 利用公式(7．11)可以计算向量的模。设a＝(x,y)，则 ，即 (7.12) 由平面向量内积的定义可以得到，当a、b是非零向量时， cosa,b＝＝。