最大值原理.PDF

第三章 极大值原理 前面一章介绍的变分法属于经典变分学的内容。经典变分学只能解决容许 控制属于开集的一类最优控制问题，而且对轨线 x( t ) 、函数L 、f 均有连续可微 要求。而在实际工程应用问题中，这些要求一般是无法得到满足的。极大值原理 就是为了解决容许控制属于闭集的一类最优控制问题而提出来的。 极大值原理（Maximum Principle ），或称最大值原理，也有称为极小值原理 或最小值原理（Minimum Principle ），是前苏联数学家庞特里亚金（俄文 ЛОНТЛЯТИН，英文 Pontryagin ）受力学中 Hamilton 原理启发，于 1958 年提出并加以证明的。极大值原理的提出，将经典变分学推进到现代变分学，也 成为了现代控制理论的重要基石。 3.1 泛函极值的充分条件 （1） 几个有关定义 I. 正常场 定义 3-1 ：若（t，x ）平面某一区域D 上每一点都有曲线族x x (t,c) 中一 条且仅有一条通过，则称曲线族在区域 D 上形成一个正常场。曲线族 x x (t,c) 上点（t，x ）处的切线的角系数称为场在点（t，x ）的斜率。 II. 中心场 定义 3-2 ：若区域D 上曲线族x x (t,c) 的全部曲线都通过一点（t ，x ）， 0 0 即它们形成曲线束，且束心也属于 D ，同时除束心外，曲线在 D 内不再相 交，曲线布满区域 D ，则该场为中心场。 III. 极值曲线场 定义 3 －3 ：若正常场或中心场是由某一变分问题的极值曲线族所形成， 则称之为极值曲线场。 （2 ） 维尔斯特拉斯E 函数（Weierstrass Erdmann Function ） 设有泛函 t f  J (x)  L[x (t), x (t), t] dt （3-1-1 ） t0 若用p (x ,t)表示其极值曲线场中极值曲线斜率，则可以证明泛函增量可表示为 tf  J (x)  E [x (t), x (t), p (x , t), t] dt （3-1-2 ） t0 其中     E [x , x , p , t] L[x , x , t] L[x , p , t] [x p ] L[x , p , t] （3-1-3 ） p 称为维尔斯特拉斯 E 函数。 （3 ） 泛函J 在曲线上达到极值的充分条件 28 设泛函 J 在曲线 c 上达到极值，可分为弱极值和强极值两种情况，其充分条 件分别为： 对于弱极值， 1) 曲线c 应是满足极值条件的极值曲线； 2) 极值曲线 c 能够被包含在极值曲线场中；   3) x E (x , x , p , t) 对于 c 近旁所有点(x , t) 以及近于p (x , t) 的 值，函数