毕氏数与费马方程式.PDF

25 畢氏數與費馬方程式 25.1 畢氏數 若正整數 互質且 剛 好構成一個直角三角形的三邊邊長，即c2 a2 b2 ，則稱 a,b, c a,b, c 是一組『畢氏數』。也就是說，邊長是正整數且互質之直角三角形的三邊邊長恰 (a,b, c) 是一組畢氏數。有關畢氏數最有名的結果莫過於克羅內克在 1901 年證明的底下這個定 理： 2 2 2 定理25.1(克羅內克定理 ) 方程式 的互質正整數解（即 的正整數解 x  y  z (x, y, z) 1 x, y ,z ）或者說任何的畢氏數(x, y, z) 均可表為  2 2 x  2mn, x  m n ,   2 2 y  2mn, 或 y  m n ,    2 2  2 2 z  m n , z  m n , x x 其中 為互質的正整數且一為奇數，一為偶數；而且 與 至少有一個為3的倍數， m,n y 與 至少有一個為4的倍數， 與 至少有一個為5的倍數。 y x , y z 2 2 2 【証明】首先令 是方程式 的一組互質正整數解，由此方程式可以推得 x, y, z x  y  z 其實是兩兩互質的。若 都是偶數，則 必為偶數，這與假設不符。如果 都 x, y, z x , y z x , y 是奇數，則 為偶數，此與z2  x2  y2  2 mod 4 矛盾。所以 必須一個為奇數，一 z   x, y 個為偶數。為了方便，不妨設 為偶數， 為奇數（注意： 兩兩互質）。 y x ,z x, y, z 首先證明： (z x,z x) 2 ： 令 則 (z x,z x) d d ∣z x,d ∣z  x d ∣2x,d ∣2z d ∣2 d 1或 2. z x,z x 因為 都是偶數，所以 d  2 。現在由