章偏微分と重积分.PDF

８章 偏微分と重積分 8.1 偏微分とは これまで微分を考える際、関数はy f (x) という形で、関数値が１つの変数x に依 存している場合のみを扱ってきました。しかし一般に変数は１つとは決まっておらず、 y f (x , x , L, x ) のように、複数の変数を持つ関数も考えなければなりません。そ 1 2 n こでこの節では今まで学んできた微分を一般化させ、複数の変数に対応した偏微分と 呼ばれるものについて説明します。これまでの微分を偏微分と区別したいとき、常微 分という呼び方を用います。 常微分は変数１つで、以下の書式で表わされていました。 dy y f (x) ⇒ dx これに対して、変数が複数ある場合、どの変数で微分するかを明らかにする必要があ d ∂ り、また常微分と区別するために、微分の を （ディーともラウンドとも読む）と いう記号に変えて以下のように表わします。 y y y ∂ ∂ ∂ y f (x , x , L, x ) ⇒ , , L, 1 2 n ∂x ∂x ∂x 1 2 n それぞれの偏微分の意味は以下で定義されます。 ∂y f x x h x f x x x ( 1, L, i + , L, n ) − ( 1, L, i , L, n ) lim (8.1) ∂x h→0 h i これは変数x だけを変化させており、他の変数は固定させたままですので、変数x に i i ついての変化率と考えられます。即ち、偏微分をする際には微分する以外の変数は常 微分の定数のような扱いで良いことになります。常微分と同様、上式が１つの値に定 まるとき、関数y f (x , x , L, x ) はx について偏微分可能と言います。 1 2 n i 偏微分の表記法としては、この他に ∂y ∂ f (x , L, x ) y f 1 n x x ∂x ∂x i i i i のようにも表わされます。偏微分は常微分と同様、関数の増減についての情報を与え てくれます。 それでは具体的に関数を偏微分してみましょう。 1) y 2x 2 +x 2 +x x 1 2