第一章Fourier变换(697KB).ppt

1.5 Fourier变换的应用 例1 求积分方程 的解，其中 解：该积分方程可以改写为 * 故 可看作 的傅立叶逆变换， 从而有 * 例2 求解积分方程 其中 为已知函数，且 和 的傅立叶变换都存在。 解：设 ， ，和 ? ? ，由卷积定理知，积分方程右 ? 端第二项等于 ，因此上述积分方 程两端取傅立叶变换，由卷积定理可得 * 所以 由傅立叶逆变换，可求得积分方程的解 * 例3 求常系数非齐次线性微分方程 的解，其中 为已知函数。 解：设? ， ? ， 利用傅立叶变换的线性性质和微分性质，对上 述微分方程两端取傅立叶变换，可得 * 故 从而可得 由于 的逆变换是 ，故有 * 例4 求微分积分方程 的解，其中 均为常数。 解：根据傅立叶变换的性质，记 ? ， ? ，对上述方程 两端取傅立叶变换，可得 * 而上式的傅立叶逆变换为 * 工程数学之积分变换（第四版） 东南大学数学系 张元林编 高等教育出版社 * 引言 在自然科学和工程技术中，为了把较复杂的运算简单化，人们常常采用所谓的变换的方法来达到目的。如十七世纪，航海和天文学积累了大批观察数据，需要对它们进行大量的乘除运算。在当时，这是非常繁重的工作，为了克服这个困难，1614年纳皮尔（Napier)发明了对数，它将乘除运算转化为加减运算，通过两次查表，便完成了这一艰巨的任务。 * 十八世纪，微积分学中，人们通过微分、积分运算求解物体的运动方程。到了十九世纪，英国著名的无线电工程师海维赛德（Heaviside）为了求解电工学、物理学领域中的线性微分方程，逐步形成了一种所谓的符号法，后来就演变成了今天的积分变换法。即通过积分运算把一个函数变成另一个函数。同时，将函数的微积分运算转化为代数运算，把复杂、耗时的运算简单、快速完成。 积分变换的理论和方法不仅在数学的学多分支中，而且在其它自然科学和各种工程技术邻域中都有着广泛的应用。 * 第一章 Fourier变换 1.1 Fourier积分 1.1.1 傅立叶级数的复指数形式 设 是以 为周期的周期函数，如果它在区间 上满足狄利克雷条件： （1） 在 上连续或者只有有限个第一类间断点； （2） 在 上只有有限个极值点。 那么， 在 上就可以展开成傅氏 * 级数，在 的连续点处，级数的三角形式为： (1.1) 其中， * 若令 ， 则(1.1)式可写成 或 这就是傅立叶级数的复指数形式。 * 1.1.2 傅立叶积分定理 若 在 上满足下列条件： （1） 在任一有限区间上满足狄利克雷条件；（2） 在无限区间 上绝对可积（即积分 收敛），则有 (1.2) 成立，而左端的 在它的间断点处，应以 来代替。 * 这个公式称为傅立叶积分公式。 若 为奇函数，则有 若 为偶函数，则有 它们分别称为傅立叶正弦积分公式和傅立叶余弦积分公式。 * 例1 求函数 的傅立叶积分表达式。 解：根据Fourier积分公式的复数形式，有 * 当 时， 应以 代替。 * 练习： 求矩形单脉冲函数 的傅里叶积分公式。 解： * * 1.2 Fourier变换 1.2.1 Fourier变换的概念 在(