单一同态同构映射.PPTVIP

定义1：A,?和B,*是两个代数系统，?和*分别是A和B上的二元运算，f是从A到B的一个映射，对a1,a2?A ，有 f(a1?a2) =f(a1)*f(a2)则称 f 为由A,?到B,*的一个同态映射；称 A,?同态于B,*，记为A~B；称 f(A),*为A, ? 的一个同态象，其中 f (A) = {x | x = f(a), a?A} ? B。 定义2： f是由A,?到B,*的一个同态映射，(1) 若f是从A到B的一个满射，则称f为满同态；(2) 若f是从A到B的一个入射，则称f为单一同态；(3) 若f是从A到B的一个双射，则称f为同构映射，称 A,? 和B,*是同构的，记为A≌B 。 例1：R-{0}, ? ,R,+，定义一个函数f:R-{0}?R，使f为满同态。 解：定义 f(x) = ln | x | 对 ? x1,x2 ? R - {0} f (x1?x2) = ln | x1 ? x2 | = ln | x1 | ? | x2 | = ln | x1 | + ln | x2 | ∴f是R-{0},?到R,+的同态 ， 而f是满射 ∴ f是满同态 例2：f:R?R，f(x)=5x，验证f是从R,+到R,?的单一同态。 证明：（根据定义证明） 对 ? x1,x2 ? R，f (x1+x2) =5x1+x2=5x1 ?5x2=f(x1) ?f(x2) ∴f是R,+到R, ? 的同态 若x1≠x2，则f(x1)=5x1，f(x2)=5x2，f(x1) ≠ f(x2) ∴ f是入射， ∴ f是从R,+到R,?的单一同态。 例3：有三个代数系统如下： 这三个代数系统是同构的。 上节回顾 设H,*是群G,*的子群，如果 A={x|x∈G,x*H*x-1=H} 证明A,*是G,*的一个子群。 例4： 若 f 是从A, ⊕到B,*的同构映射，则 f-1是从B,*到 A, ⊕的同构映射。 证明：∵f是从A到B的双射，∴ f -1是从B到A的双射 对于?y1,y2?B，存在x1,x2?A， 使 f-1(y1)=x1，f-1(y2)=x2，y1=f(x1)，y2=f(x2) f-1(y1*y2)=f-1(f(x1)*f(x2)) ∵f 是从A, ⊕到B,*的同构映射， ∴f(x1)*f(x2)=f(x1 ⊕ x2) ∴f-1(y1*y2)=f-1(f(x1 ⊕x2))=x1 ⊕x2=f-1(y1) ⊕f-1(y2) ∴f-1是从B,*到A, ⊕的同态映射，又∵ f是双射 ∴f-1是从B,*到A, ⊕的同构映射。 定义3： A,° 是一个代数系统， 若f是由A,°到A,°的同态映射，则称f是自同态； 若f是由A,°到A, °的同构映射，则称f是自同构。 例：代数系统I,+中，f(n)=2n 是自同态， f(n1+n2) = 2(n1+n2) = 2n1+2n2 = f(n1)+f(n2) f(n)=n是自同构 定理1：G是代数系统的集合，则G中代数系统之间的同构关系是等价关系。 证明略 定理2： f是A,°到B,*的一个同态映射，若A,°是半群（独异点、群），则在f作用下，同态象f(A),*也是半群（独异点、群）。 证明： (1)若A,?是半群，则f(A),*也是半群 对?y1,y2?f(A)，存在x1,x2?A， 使y1=f(x1)、y2=f(x2) y1*y2=f(x1)*f(x2)=f(x1?x2) ∵A,?是半群，∴x1?x2?A， ∴f(x1?x2) ?f(A)，y1*y2 ?f(A) ∴*在f(A) 上封闭； 对?y1,y2,y3?f(A)，存在x1,x2,x3?A， 使y1=f(x1)、y2=f(x2)、y3=f(x3) y1*(y2*y3) = f(x1)*(f(x2)*f(x3)) = f(x1)*f(x2?x3) = f (x1?(x2?x3)) ∵A,?是半群，∴?可结合， ∴y1*(y2*y3) = f ((x1?x2)?x3) = f(x1?x2)*f(x3) = (f(x1)*f(x2))*f(x3) = (y1*y2)*y3 ∴*在f(A) 上可结合； ∴ f(A),*是半群 (2) 若A,°是独异点，则f(A),*也是独异点 设e是A,?的幺元，则f(e)?f(A)， ?y?f(A)，存在x?A，使y=f(x) y * f(e) = f(x) * f(e) = f(x?e) = f(x)