远超过算术许多在现今科学与工程中使用的数学-104教育网.PDF

◎遠超過算術  許多在現今科學與工程中使用的數學，不過只有三、四百年那麼老，有一些的年 紀還小於一個世紀；然而，典型的高中課程中所包含的數學，至少都有那麼老―― 有些甚至已經超過兩千年了！  在現今，教導某些這麼老舊的知識並沒有錯，如同諺語所說的，如果東西沒有壞， 就不要修。那些說阿拉伯語的貿易商在 8 、9 世紀所發展的代數學（algebra ﹝代 數﹞這個字來自於阿拉伯文的 al‐jabr ，意思是「還原」﹝restoration ﹞或是「分 開部分的重聚」﹝reunion of broken parts ﹞），被用來增進他們商業交易的便利性， 到如今依舊如當時一般的有用以及重要，即使今日我們可能使用可觀的電子試算 表來實施運算，而不再如中世紀般用手指頭計算了。但是，隨著時間的流逝與社 會的推進，在這段過程中，對新數學的需求上升，然後在適當的時候，這種需求 被滿足。教育必須跟上腳步。  數學這一門學科的起源可說是來自於數目與算術的發明，這些發明據說發生在大 約一萬年前，隨著貨幣的引入而發生（是的，似乎它始自於貨幣！）。  過了幾個世紀，古埃及人和巴比倫人將這門學問包括進了幾何學與三角學。在這 些文明中，數學大部分是功利性的，非常像是「食譜」這類的功用（對數目或幾 何圖形作這樣那樣，你就會得到答案）。  大約從西元前 500 年到西元 300 年的這一段時間，是所謂的希臘數學時期。古希 臘的數學家對幾何特別高度重視，事實上，他們還以幾何的形式來對待數字，將 其當成邊的度量；而當他們發現有些邊的長度沒有數可以相對應時（基本上，就 是無理數的發現），他們對數目的研究大部分就停滯了下來。  事實上，是希臘人將數學帶入了研究的領域，讓數學不只是測量、數數、核算之 類的技術匯集。大約西元前 500 年，米利都的泰利斯（Thales of Miletus ）（米利 都為現在土耳其的一部分）引入這樣的想法：正確地陳述的數學主張能夠藉由形 式化的數理邏輯所證明。這個創見標誌著定理的誕生，現在已經成為數學的根基。 這種希臘人所採取的形式化之進路，在歐幾里得的《幾何原本》出版之後達到顛 峰，這本書被譽為是繼《聖經》之後流傳得最廣的一本書。  總的來說，學校數學根基在上面我所陳述的發展上，再加上兩個更進一步的進展。 這兩個都來自於 17 世紀：微積分和機率論。實際上，沒有任何最近三百年的數 學能夠進入到教室之中。然而，大部分在現今世界中使用的數學，都是近兩百年 來所發展出來的，更不用說近三百年了！  就結果上來說，任一個對數學的看法侷限於學校所教授之刻板印象的人，就不會 體認到數學的研究是一種茂盛的、廣泛的活動，或者接受數學以一種可觀的規模 滲透到現代生活與社會的各行各業中。舉例來說，他們可能不知道在美國哪一個 組織聘僱了最多的數學博士。（雖然正確的數字為官方機密，不過答案幾乎可以 確定為國家安全局﹝National Security Agency ﹞。這裡面大部分的數學家，他們的 工作為密碼破解，讓局裡能夠讀懂那些由監視系統所攔截的加密訊息――雖然再 次地國家安全局並沒有說明任何隻字片語，至少這是一般人所假設的。儘管大部 分的美國人可能知道國家安全局會從事密碼破解，他們可能並不了解它需要用到 數學，因此，也就不會想到國家安全局是聘僱最多頂尖數學家的組織。）  ◎數學的符號  現代數學有一個面向，甚至對那些漫不經心的觀察者來說都是明顯的，那就是抽 象符號的使用：代數的表徵式子，看起來複雜的公式和幾何圖形。數學家對抽象 符號的依賴，是對他們所研究模式之抽象本質的一種反射。  現實世界的不同面向，需要不同形式的描述。舉例來說，研究地面的鋪設，或向 某人說明如何在陌生的城鎮中找路的最適當方式為畫地圖，文字說明就沒有那麼 適合。類似地，畫上加上注解的線（藍圖）則是用來呈現建築物構造的最適當方 式。而音符記號則是用來將音樂表現在紙上的最適當方式。對某些抽象、形式化 的模式與抽象的結構而言，最適當的描述和分析方式就是數學，以及使用數學符 號、概念和程序。  舉例來說，加法的交換律能夠這樣描寫：  當兩個數相加時，它們的順序並不重要。  然而，它總是被寫成符號的形式：  m + n = n + m  儘管在這樣一個簡單的例子中，符號的表示形式沒有顯著的優勢，然而，大多數 數學模式是那麼的抽象與複雜，當使用其他不是符號化的記號時，那將會繁瑣得 令人望而卻步。因此，數學的發展牽涉到對抽象符號穩定增加的使用。  雖然現代形式的符號化數學之引入，一般都歸功於 16 世紀的法國數學家韋達 （Françoise Viète ），然而，代數的記號似乎最