逆矩阵-瀚海网.PDF

瀚海网线性代数教案 §2.2 逆矩阵 §2 2 逆矩阵 一、逆矩阵的概念 1.引例 给定一个x T (x ,x ,...,x ) 到y T (y ,y ,...,y ) 的线性变换 y Ax 现在提出 1 2 n 1 2 n T T 一个问题，有没有办法反过来求 到 的线性变换x=By 呢？即矩阵B 是否存在？ y x 先假设矩阵B 存在，那么y Ax=ABy ，则AB =E ，同理BA=E 2.定义13 对于n 阶矩阵A  如果存在n 阶矩阵B 使得AB BA E 则矩阵A 是可逆 的 并称B 为A 的逆矩阵 简称逆阵A 的逆阵记为A1 即若AB BA E  则B A1 3.逆矩阵的唯一性 如果矩阵A 是可逆的 那么A 的逆矩阵是唯一的 证明：如果矩阵 B 和 B 都是矩阵 A 的逆矩阵 则有 AB BA E AB B A E 于是 1 1 1 B BE B(AB ) (AB)B EB B  即B B  所以逆矩阵是唯一的 1 1 1 1 1 二.逆矩阵存在的条件与求法 1 定义14 若n 阶方阵A 的行列式| A | 0 ，则称A 为非奇异的 （非退化的），否则称 为奇异的 （退化的）。 2 定义15 行列式|A |的各个元素的代数余子式A ij 所构成的如下方阵 A11 A21  An1 A A  A  A*  12 22 n2        A A  A  1n 2n nn  称为矩阵A 的伴随矩阵 简称伴随阵 3 伴随阵的性质 AA * A *A |A |E  证明 设A (A ) 记AA * (b ) 因为 ij ij |A | i j   b a A a A 