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静电场及其边值问题
第二章 静电场及其边值问题
2.1 静电场和静电势
2.2 电势多极展开
2.3 静电能 外电场对电荷体系的作用能
2.4 静电场边值问题
2.1 静电场和静电势
静态平衡下的电荷分布产生静电场,电荷和电场的分布均与时间无关,场方
程为
∇ ⋅E ρ/ε 0 ，∇ × E 0 (2.1)
无旋性的积分形式
E d=⋅ l 0 (2.2)
∫
L
表明静电场为保守力场,它对电荷作的功与路径无关,只与电荷的始末位置有关.
故可引入标势函数ϕ ,使
E −∇ϕ (2.3)
任意两点x 与x 0 之间的电势差,等于电场将单位正电荷从x 点移至x 0 点作的功：
x 0
x x E l
( ) ( =− ) ϕ ϕ d ⋅ 0 ∫ (2.4)
x
( ) ϕ 0x ,则任一点x 的电势
因此,用电势描述电场时,必须选择电势零点.如令 0
x 0
(x ) Eϕ dl ⋅ ∫ (2.5)
x
就表示单位电荷在该点的静电势能,此时ϕ 的空间分布才构成有明确意义的标量
场.
当电荷分布于有限区域时,通常以无穷远即x 0 ∞ 为电势零点,则任一点x
的电势为
∞
(x ) Eϕ dl ⋅ ∫ (2.6)
x
将(2.3)式代入(2.1)第一式,得电势的泊松方程
2 (2.7)
=∇ϕ −ρ ε / 0
1
这方程在无界空间中的解为
′
( ρ )x ′
(ϕ )x ∫ d V (2.8)
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