非线性方程和方程组的解法.PDF

[压缩映象] 若 (x ) 满足 x , y R , (x ) (y ) L x y . 0 L 1 则说 (x ) 为 R 上的压缩映象。 直观上，压缩映象就是把一条曲线 在 y 方向上压缩得很“扁”。 ( L 1) [定理1] 将 f (x ) 0 化为等价形式 x (x), 若  (x) 为压缩映象，则 1 x R ,x (x )  （） 0 n1 n 收敛于 （2 ）x (x ) 在 R 上有且仅有一个根 Ln  (3) xn   x1 x 0 1L [定理] 当 B 1 时，x (k 1) Bx (k )  f (*) 对任初值收敛，且 k B ( )k  (1) (0) x x x x    1 B 其中 x* = Bx* + f 证：（）证明对任意初值序列收敛。1 (即证明序列为Cachy 序列)由压缩映射 xn1 xn (xn ) (xn1 ) L xn xn1 比照上章 x (n1) x (n )  B x (n ) x (n1) 可知 L 的作用与 B 一致， 故可类似证得 x x Lnp1 x x Lnp2 x x  np n 1 0 1 0 1Lp Ln x x Ln x x 1 0 1 0 1L 即有： 1 p n L L x x Ln x x x x      np n 1L 1 0 1L 1 0 0 L 1,   0, N , 当n N 时，