10-4圆轨道运动的稳定性.PDF

10-4 轨道运动的稳定性 任何现实的运动都不能设想为不受微扰, 只 有稳定的运动才能得以保持和实现. 在现代科学技术中, 运动稳定性理论已成为 重要的专门学科. 本节仅对轨道稳定性问题作初 步介绍. 通讯卫星是在赤道上空绕地球做圆周运动, 它能否稳定地运动, 是一个极为重要的问题. 只 要有适当的初始条件, 不管力与距离是什么函数 关系, 质点在有心引力场中都能够做圆轨道运动. 是, 是否所有这些圆运动轨道都是稳定的, 以 及在什么条件下能够稳定, 这是需要研究的. 下 面用两种方法解决这一问题. 一、把问题化为平衡稳定性问题 L2 V V(r) §10-1 引入有效势能的概念 eff 2mr 2 §10-2 中用有效势能的概念, 把平方反比有心力 场中二维运动化为一维运动, 如图. 可知, 二维 的圆运动化为一维的静平衡. 通过平衡条件即有 效势能取极值可求出平衡位置, 也就是圆轨道的 半径为r r (在图中 ), 从极值条件得 0 c d V dV L2 L2 eff F 0 dr dr mr3 r mr3 0 现设引力的大小为F (r) , 则Fr F (r) , 代入上式 后可知r0 应满足方程 L2 ( ) 0 F r 0 mr 3 (A) 0 2 2 将L mr q 代入得mr q F (r ) , q 是与半径r 相 0 0 0 0 0 0 应圆运动的角速度. 平衡的稳定条件就是圆运动的稳定条件, 它 要求有效势能在r0 处具有极小值, 即要求 2 2 3L d V eff r r 0 F (r0 ) 4 0 dr2 0 即 mr 0 将(A)式代入, 得 r dF F (r ) 0 0 r