n阶常系数线性方程的解法.PDF

4.7 n阶常系数线性方程的解法 主讲人：刘兴波 为了求出n阶线性方程的通解, 只要求出其对应齐次方程的n 个线性无关解即可; 可是对于一般变系数齐次线性方程来说, 至今尚无一般的方法来求其基本解组. 但对于n阶常系数齐次 线性方程,却只要通过求解一个代数方程, 连积分运算都没有 必要,即可求出其基本解组.而当非齐次项为某一类函数时, 也 只要利用代数运算与求导运算就可以求出n阶常系数非齐次线 性方程的通解; 这就是常系数线性方程的主要特点. 实变量的复值函数 若实变量t在区间I上变化时,其函数值z (t) 取复数值, 即 这里 和 均为实值函数, 则称 z (t) z (t ) (t ) i (t ), (t)  (t) 为实变量的复值函数. 命题4.8 如果齐次线性方程(4.33)中所有系数 a (t),1  j n j 都是t 的实值函数, 而z (t) (t) i (t) 是它的复值解,则z (t) 的实部 和虚部 以及z (t) 的共轭复值函数z (t) 也都 (t)  (t) 是它的解. 命题4.9 如果非齐次线性方程 (n) (n1)  y a (t )y  a (t )y a (t )y u (t ) iv (t ) 4.50 1 n1 n 有复值解y y (t) iy (t) ,其中a (t),1  j n 均为实值函数, 1 2 j 则解的实部y (t) 和虚部y (t) 分别为方程 1 2 (n) (n1)  y a (t)y a (t)y a (t)y u(t) 1 n1 n 和方程 (n) (n1)  y a (t)y a (t)y a (t)y v(t) 1 n1 n 的解. 二、n阶常系数齐次线性方程的解法 记 (n) (n1)  则n阶常系数齐次线性方 L[y ] y a y  a y a y , 1 n1 n 程可简写成L[y ] 0. 求解L[y ] 0的关键是找出它的基本解组, 即它的n个线性无关解. 与讨论方程组时一样, 对于L[y ] 0, 我们 也试求其形如 y et 的解. 代入L[y ] 0 中可得 n n1 t ( a   a a )e  0, 1 n1 n 由于对t R 都有et  0, 所以有 n n1  a   a