主要用半直积的方法p群要按中心非平凡逐渐归纳需要用到的会.PDF

 主要用半直积的方法。p群要按中心非平凡逐渐归纳。需要用到的会说出自同构群。 未知的群记为G，若能找到正规子群，一般记做N；和N构成半直积的子群一般记做H， 同态H→Aut(N)记做φ。为了方便，循环群记做Cn，二面体群Dn等，不再用下标。元 素的幂次记为x^n。每一个不同的同构类型用蓝色标出，如果指出了自同构群，用红色 标出。  2阶群C2，自同构群平凡群1。  3阶群，素数阶。C3，Aut(C3)≌C2，由乘以-1生成。  4阶群，素数平方阶，交换。C4，循环群，Aut(C4)≌C2，由乘以-1生成；C2xC2，Klein4 群，Aut(C2xC2)≌GL2(F2)≌S3。S3作用于C2xC2上任意置换3个2阶元，GL2(F2)作用在 上面表示为矩阵作用于线性空间。  5阶群，素数阶。C5，循环群，Aut(C5)≌C4，由乘以模5的原根2生成。  6阶群，2p型，3阶群正规，C2与C3半直积，要考察同态C2→Aut(C3)≌C2。平凡同 态得到C2xC3≌C6；非平凡同态得到D3≌S3。  7阶群，p型。C7，循环群，Aut(C7)≌C6，由乘以3生成。  8阶群，素数幂型或p群。 A) 若G有8阶元，则G≌C8，Aut(G)≌C2xC2，由乘以3和乘以5生成。 B) 若G无8阶有4阶元x，N=x正规，取y∈G\N；y^2∈N。 BA) 若y^2=1，则要考虑y在N上作用（半直积）。Aut(C4)≌C2。考察同态C2→C2。 BAA) 若y在N上是平凡作用，则G≌C2xC4。自同构群可以用2x2矩阵来表达，矩阵的列 表示生成元y,x的像，Aut(G)是8阶群，把Aut(G)中生成元写出发现Aut(G)同构于F2 上的3x3对角线为1的上三角矩阵群。Aut(C2xC4)≌D4。 BAB) 若y在N上非平凡作用，则G≌D4。计算同构群要考虑生成元可能的像，然后用映 射复合计算同构群乘法表，Aut(D4)≌D4。 BB) 若y^2=x^2，y^4=x^4=1,因此y是4阶元。此时y于N交不是平凡群，不是半直积。 但是G 的结构还是可以由y在N上的共轭作用决定，这时y 的共轭作用T要保证ToT于 y^2的共轭作用一样(平凡作用)，于是y 的共轭作用可以是Aut(C4)≌C2中的每一个。 BBA) y^2=x^2, yxy^3=x^3，这时群在x→i，y→j下同构于4元数群H8 （这只是这里记 法，不通用）。Aut(G)≌S4。推导过程略去，用到一种很有趣的结构叫CliffordAlgebra， 是李代数表示中比较标准的内容。 BBB) y^2=x^2, yxy^3=x，于是y和x交换，这时其实yxyx=x^4=1，于是这是BAA)中的 C2xC4。 BC) 若y^2是x中的4阶元，则y是8阶元，与假定矛盾。 C) 若G只有2阶元，则根据书中习题，全部是2阶元的群交换，这时G≌C2xC2xC2。 Aut(G)≌GL3(F2)。  9阶群，p^2型。C9，循环群，Aut(C9)≌C6，由乘以2生成；或C3xC3， Aut(C3xC3)≌GL2(F3)。  10阶群，2p型。类似6阶，C10或D5。  11阶，p型。C11，Aut(C11)≌C10，由乘以2生成。  12阶，书中给了分类。按半直积方法来，首先按书中方法讨论，发现3阶群或者4阶 群是正规子群。 A) C3正规子群，C4或者C2xC2作用于C3，有到C2的同态。 AA) C4到C2的平凡同态，得到C3xC4≌C12。 AB) C4到C2的非平凡同态，C4=x，C3=y，xyx^3=y^2。 AC) C2xC2到C2的平凡同态，得到C2xC2xC3≌C2xC6。 AD) C2xC2到C2的非平凡同态，相差生成元选取这个同态相当于C2xC2的一个分支平凡 作用，一个分支非平凡作用，于是得到{x^2=y^2=z^3,xy=yx, xzx=z, yzy=z^2}，于是 x,z≌C6，y共轭在C6上是非平凡同态，于是G≌D6。 B) C4正规子群。C3到Aut(C4)≌C2只有平凡同态，这时得到C3xC4，是AA)情形。 C) C2xC2正规子群，C3到Aut(C2xC2)≌S3有一个非平凡同态，因为西罗3子群不唯一， 只能有4个，于是G在4个西罗3子群的共轭作用给出同态G→S4。4个西罗3子群说明每个 的正规化子是3阶，是本身。于是每个西罗3子群本身共轭作用在4个3子群上保持自己不 变，在另外3个上是3轮换；C2xC2的共轭作用也没有不动点，于是是2个不相交对换的乘 积；这样G在S4中的像发现生成A4，于是计算阶数，G≌A4。  13阶，p型。